Gradienten

Læste forkert nærlæser lige

∇f = (df/dx,df/dy)

den retningsafledte i retningen (1,3) er

∇f • a

hvor a    (1,3) / ||(1,3)||

og du får at vide at

∇f • a = 4

Den retningsafledede af funktionen f(x,y) i retningen bestemt ved enhedsvektoren u er

∇_uf(x,y) = ∇f(x,y) • u = ∂f/∂x·cos(θ) + ∂f/∂y·sin(θ) ,

hvor u = (cos(θ) , sin(θ)) .

Find maksimum for funktionen ∇_uf(x,y) udtrykt ved θ . Det oplyses, at dette maksimum er lig med 4, og at det optræder ved det θ , der svarer til retningen for vektoren (1,3) .

#2

Man skal også benytte, at den retningsafledede har sit maksimum i den retning. Derved fås to ligninger til ebstemmelse af både ∂f/∂x(0,0) og ∂f/∂y(0,0) .

Jeg tror ikke helt, jeg forstår det?

Jeg forstår godt, at ∇f = (df/dx,df/dy) og at ∇f • a = 4

Men hvad skal jeg så gøre her fra?

#4

Den retningsafledede for f(x,y) i punktet (0,0) har formen

∇_uf(0,0) = a·cos(θ) + b·sin(θ) = g(θ)

Man finder maksimum for funktionen g(θ) ved at løse ligningen

g'(θ) = 0 , dvs

-a·sin(θ) + b·cos(θ) = 0

eller

sin(θ) / cos(θ) = tan(θ) = b/a

Her vides det, at cos(θ) = 1/√10 og at sin(θ) = 3/√10 , hvorfor

b/a = 3 .

Endvidere er

a·1/√10 + b·3/√10 = 4 ,

så man har nu to ligninger til bestemmelse af a = ∂f/∂x(0,0) og b = ∂f/∂y(0,0) .

Hvorfra vides: cos(θ) = 1/√10 og sin(θ) = 3/√10 ?

Betragt vektoren v=(a,b)

den har længden ||v|| = √(a)²+(b)²     kvadratrod om det hele

v/||v|| kaldes en enhedsvektor fordi det er vektoren selv divideret med dens længde, hvorfor den enhedsvektoren har en længde på 1.

Ved at gange den med en skalar r får man dermed en vektor der har samme retning som v og hvor længden direkte kan aflæses af skrivemåde altså r * v/||v|| ses umiddelbart at være r lang... ofte praktisk

Men hvad der er vigtigere set i forhold til dit spørgsmål er at enhedsvektoren i kraft at at have en længde på en kan tænkes på som begyndende i origo og slutter i et punkt på enhedscirklen. Men som du sikkert ved er punkterne på enhedscirklen netop de punkter, der skrives (cos θ,sin θ).

(1,3)/||(1,3)|| = (1/√10, 3/√10) = (cos θ,sin θ)

og to vektorer er kun identiske hvis deres respektive koordinater er identiske.