Differentialligninger

Hvad har du da gjort?

a) Find rødderne i karakterligningen. Dette giver at  λ= 1   (dobbeltrod.)

Brug gættemetoden for 2. ordens inhomogene dif.ligninger.

Dobbeltrod giver altid den homogene grundløsning yh(x) = c1*x*e^λx + c2*e^λx , hvor λ jo er 1

Fuldstændig løsning = homogene løsning + inhomogene partikulære løsning

Derefter skal man finde den inhomogene partikulære løsning.

Da højresiden q(x) er e^x gættes på en form af K*e^x , men da denne er en løsning til den homogene ligning skal man gange med x. Da denne også er en løsning skal man gange med endnu et x. (regel)

Dvs den partikulære inhomogene løsning har formen K * x * x * e^x ,  altså 

yp(x) = K*x²*e^x

yp ' (x) = x*(x+2)*K*e^x

yp '' (x)  =  (x²+4x+2)*K *e^x

Indsæt disse i den originale dif.ligning

(x²+4x+2)*K*e^x  -  2*K*x*(x+2)*e^x  +  K*x²*e^x = e^x

=>   2Ke^x = e^x   => (2K-1)*e^x = 0  => K = 1/2

Indsat i den partikulære løsning... yp(x) = 1/2 * x²*e^x

Fuldstændig løsning = homogene løsning + inhomogene partikulære løsning!

b)    y´´ + 4•y = cos2x

Samme metode (gættemetoden):

λ²  + 4 = 0  har rødderne     λ= 0 + 2i  og  λ= 0 - 2i   (kompleks, brug evt. csolve)

Den homogene grundløsning har derfor altid formen yh(x) = C1*e^0x * cos(2x) + C2*e^0x*sin(2x)  =>

yh(x) = C1*cos(2x) + c2*sin(2x)

Inhomogen partikulær: gæt en form af højresidens afledte... K*sin(2x)

Denne er selv løsning til yh(x), så vi skal gange med x. (Denne er ikke løsning), altså

yp(x) = K * x * sin(2x)

......osv som i opg. a.