Ligninger

hvilke områder
                            er
                                      M og N?

Hvor ligger områderne M og N? 

Hvor er endepunkterne for intervallerne og nedre afgrænsning?

Find arealet af begge områder   A=_a^b∫f(x) dx

            formentlig

                       A_M = _-√(k)∫⁰ ((g(x) - f(x))dx = _-√(k)∫⁰ (x³-2x)dx = [(1/4)x⁴- x²]_-√(k)⁰ =

                                           (1/4)·0⁴- 0² - ((1/4)·(-k^½)⁴- (-k^½)²)  = k - (1/4)·k²                    

                      A_N = ₀∫^√(k) (f(x) - (g(x))dx = ₀∫^√(k) (2x-x³)dx = _√(k)∫⁰ ((x³-2x)dx = [(1/4)x⁴- x²]_√(k)⁰
 
                                          (1/4)·0⁴- 0² - ((1/4)·(k^½)⁴- (k^½)²)  = k - (1/4)·k²  

hvoraf

                     A_M = A_N = k - (1/4)·k²    for ∀k∈R

#1 Det er på grund af tre skæringspunkter mellem de to grafer, det første i anden kvadrant arealet M, det andet i y-aksen og det sidste i første kvadrant arealet N. Der er ikke nogen skæring med x-aksen. da de ligger længere oppe. 

#3 Jeg synes godt at kunne se logikken i de beregninger du laver, blot kan jeg ikke se hvordan du når frem til de værdier du gør, når du integrerer. Jeg får selv:

f(x) = (-x³ + x² + kx + 3) = [-x⁴/4 + x³/3 + (kx + 3) ·x]

g(x) = (x² + 3) = [x³/3 + 3x]

hvilket ikke er til at se oppe i din beregning?

Når spørgsmålet "a) gør rede for, at de to områder M og N har samme areal for alle værdier af k." bliver formuleret på den måde, er det så fordi at man ikke vil nå frem til noget reelt tal, når man begynder at finde arealet, da k som en konstant indgår i en af ligningerne? Men ellers er ideen fuldstændigt den samme, som når man finder et bestemt areal?

Hvorfra får man x³ - 2x og 2x - x³?

Opgaven er lidt mere klart formuleret her https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=909448 hvor den tilhørende figur også er givet. Det er vistnok også givet, at k er et positivt tal.

Man skal først løse ligningen f(x) = g(x) , dvs x³ -kx = 0 ,  altså x = 0 ∨ x = √k ∨ x = -√k .

Man har så

A(M) = _-√k∫⁰ (g(x) - f(x)) dx , og

A(N) = ₀∫^√k (f(x) - g(x)) dx .

Man bemærker, at funktionen h(x) = g(x) - f(x) = x³ -kx er en ulige funktion, dvs h(-x) = -h(x) for alle x. Derfor gælder der, for ethvert positivt a, at hvis vi benytter substitutionen t = -x, dt = -dx, har vi

₀∫^a h(x) dx = ₀∫^-a h(-t) (-1) dt = 0∫-a h(t) dt = - _-a∫⁰ h(t) dt  = _-a∫⁰ (-h(t)) dt,

hvoraf man let ser, at A(M) = A(N) for ethvert k.

Hvis nu jeg finder skæringspunkter via cas til x = -1 og x = 0 og x = 1, og vil finde arealet af de to arealer M og N, skal jeg så foretage den arealberegning to gange med to forskellige værdier af k, for at bevise at arealet forbliver det samme? 

#9

Nej; det skal vises for ethvert k . Se forklaringen i #8. At arealerne af M og N er ens følger af, at skæringspunkterne ligger symmetrisk med hensyn til y-aksen, og af at funktionen h(x) er en ulige funktion.

Men så forstår jeg ikke hvordan man finder h(x) = g(x) - f(x) = x³ -kx? Det eneste sted at jeg kan se noget lignende er i    f(x) = -x³ + x² + kx + 3 dog med modsat fortegn.

#11

Med   f(x) = -x³ + x² + kx + 3   og   g(x) = x² + 3   finder man jo netop, at

h(x) = g(x) - f(x) = x² + 3 - (-x³ + x² + kx + 3) = x³ - kx .

Skal jeg så integrerer x³ - kx og løse den hver for sig i f(x) grænseværdi og så g(x) grænseværdi, for så at se om resultatet bliver det samme?

Eller er det bare for h(x) = g(x) - f(x) hvor der så også tilsvarende skal laves en beregning for h(x) = f(x) - g(x)?, hhv. g(x) og f(x)??

#13

Det hele er forklaret i #8 . Der vises, at funktionen h(x) er en ulige funktion (når k > 0), og at der for enhver ulige funktion gælder

₀∫^a h(x) dx = _-a∫⁰ (-h(t)) dt

Der gælder jo, at

A(M) = _-√k∫⁰ (g(x) - f(x)) dx ,  og

A(N) = ₀∫^√k (f(x) - g(x)) dx = _-√k∫⁰ -(f(x) - g(x)) dx = _-√k∫⁰ (g(x) - f(x)) dx = A(M) ,

da h(x) = g(x) - f(x) er en ulige funktion.

Hvordan bemærker man at der er en ulige funktion og hvad er det jeg substituere?

#16

En ulige funktion er, som forklaret i #8, en funktion, der opfylder h(-x) = -h(x) for alle x . Det ses jo at være tilfældet for funktionen

g(x) - f(x) = x³ - kx . Ethvert monomium a·xⁿ er en ulige funktion, når n er ulige.

Okay, tak for hjælpen!!