Logistisk vækst

Den har du jo kørende i en anden tråd. Hold dig til den.

a)

er logistiskvækst på formen y'=a*y*(M-y)

den har løsningen

y = M/(1+c*e^(-a*M*x))

brug så punktet N(0)=0,02 til at tilpasse c

b)

du skal så løse N ''(t)=0

opgave 20

a)

udtryk V som en funktion af r og højden

og udtryk O som en funktion af r og højden

indsæt så V=120 og isolere h der i og indsæt det i O og så kan du bestemme r i O '(r)=0

Peter: Jeg ved godt, at jeg har stilelt spørgsmålet i en anden tråd, men tråden omhandlede ikke dette spørgsmål mht. overskriften, hvorfor jeg har lavet en ny.

Nielsen: Jeg er med indtil opgave b, idet jeg havde tænkt man kunne sige M/2 og dermed er dette jo 2,5. Men hvorfor kan man ikke det?

Opgave 20 både h og r er ukendt så skal mit udtryk for h indeholde r?

#3

b)

vækst hastigheden er jo N '(t), 

man skal altså finde maksimum for N '(t) det gøres ved at løse N ''(t)=0.

opgave 20.

det sidste kan være svært at forstå når du ikke har opstillet dine udtryk endnu. så lidt hjælp på vejen.

V(h,r)= cylinderen + en halv kugle = h*π*r²+(4/3)*π*r³ /2

O(h,r)= en cylinder+ bund + en halv kugle= 2*r*π*h +2*r*π + 4*πr² /2

du kender V så find h i

120= h*π*r²+(4/3)*π*r³ /2  og indsæt det i O(r,h) dermed bliver det til en funktion med kun en variabel og du kan derfor nemt bestemme minimum for r ved at løse O '(r)=0

#5 det var det også, men det bliver det jo kun nemmere af...

Men det er rumfanget af cylinderen, der er 120 og ikke af cylinderen + halvkuglen???

Super, så er jeg nemlig med! Blev forvirret over du skrev kuglen med :)

Jeg har lavet 17a og får N(t) til 5/(1+249·e^((0,025)·5·t) ).Det ses altså at min c-værdi er 249, er det ikke noget af en stor c-værdi? Eller er det bare mig.

Og jeg får det tidspunkt hvor algeudredelsen foregår hurtigst til 44,14, hvilket også kommer mig ret stort. Men det er det mine udregninger peger i retning af.

Er det ikke en god ide at lave en monotonilinje og vise at 44,14 er maksimum?

Jeg forstår ikke udtrykkene for bund, hvor kommer de fra? OG er der ikke kun en bund?

generelt
                   dN/dt = a·N·(M - N)        0<N<M

                   d²N/dt² = a·(dN/dt)·(M - N) + a·N·(-(dN/dt)) = a·(dN/dt)·(M - N) - a·N·(dN/dt)

                   d²N/dt² = a·(dN/dt)·(M - 2N)      hvori    dN/dt = a·N·(M - N)   indsættes

                   d²N/dt² = a·a·N·(M - N)·(M - 2N)

                   d²N/dt² = 2a²·N·(M - N)·(M/2 - N)
ekstremum
kræver
                   d²N/dt² = 0
   dvs
                   N = M/2

væksthastigheden dN/dt er størst for N = M/2

    hvoraf 

                  dN/dt = a·(M/2)·(M - (M/2)) = (1/4)·a·M²

Mathon, jeg får altså to forskellige resultater. Når jeg siger M/2 bliver det lig 2,5, men når jeg siget N''(t) bliver det -44,15.

hvoraf 

specifikt
                 5/2 = 5/(1+249·e^-0,125·t)

                 1/2 = 1/(1+249·e^-0,125·t)

                 2 = 1+249·e^-0,125·t

                 1 = 249·e^-0,125·t

                 e^0,125·t = 249

                      0,125·t = ln(249)

                 t = 8·ln(249) = 44,14

Det er 0,025 og ikke 0,125 - Hvor har du 0,125 fra?

Du ganger selvfølgelig med 5, min fejl :)

20)

             volumen        volumen    
             h·π·r²      =     120

hvoraf
                  2·h·π·r = (240/r)

overflade
                              bund     krum cylinderflade      top(halvkugle)
                              π·r²       h·2π·r = (240/r)                2π·r²

totaloverflade
                                 Ov(r) = 3π·r² + (240/r)

                                 Ov '(r) = 6π·r - (240/r²) = (6π/r²)·(r³ - (40/π))     r>0

ekstremum kræver

                                 Ov '(r_o) = 6π·r_o - (240/r_o²) = 0

                                                  6π·r_o³ - 240 = 0

                                                  π·r_o³ - 40 = 0

                                                  r_o = (40/3)^1/3 ≈ 2,37 dm

monotoniforhold:

for 0< r<(40/3)^1/3 er Ov '(r)<0, hvorfor Ov(r) er monotont aftagende

for r >(40/3)^1/3 er Ov '(r)>0, hvorfor Ov(r) er monotont voksende

    hvoraf ses, at Ov(r) har minimum for r = r_o = (40/3)^1/3 dm

beregningen i #8
kunne naturligvis
også have været afsluttet
således:

                   N(t) = M/2 = M/(1+C·e^-a·M·t)

                   1/2 = 1/(1+C·e^-a·M·t)

                    2 = 1+C·e^-a·M·t

                    1 = C·e^-a·M·t

                     C^-1 = e^-a·M·t

                     C = e^a·M·t

                     ln(C) = a·M·t

                     t = ln(C) / (a·M)

Det er en smart metode! Og hold da fast, du er sindsyg god til at beregne komplekse ting med håndkraft! :) Tusind tak.

opsummering
    den logistiske vækst/differentialligning

                                         y ' = a·y·(M-y)

har løsningen
                                        y = M/(1+C·e^-a·M·x)
med maksimal
væksthastighed           dy/dx = (1/4)·a·M²

for
                                        t = ln(C) / (a·M)