Cirkler, der overlapper

Jeg kan ikke se hvordan du har fået den sidste ligning. Det nemmeste du kan gør er at trække ligningen for den anden kugle fra ligningen af den første kugle.  Ledden med x² vil gå ud så du har en ligning i y alene. I den ligning vil y² også gå ud så du har en simpel lineær ligning i y

Du kan løse opgaven ved at anvende et eller andet matematik program, hvormed du kan løse de to ovenstående ligninger med to ubekendte. Ud fra figuren kan man forudse, at der vil være to løsninger/koordinatsæt, idet der findes to skæringspunkter mellem de to cirkler. Det koordinatsæt, som har et positivt x-koordinat, må angive punktet E

Jeg tvivler på, om du har nedskrevet ligningen for cirkel 2 korrekt.

Som jeg kan se på figuren, er cirkel 2 den lille cirkel i koordinatsystemet. Denne cirkel har centrum i punkt C (0,1) og en radius på 1. Herved er ligningen for cirklen:
(y-1)²+x²=1

#3 og #1

Den sidste ligning har jeg fået ved først at lave en ligning for den mindre cirkel og derefter lægge 1.25 til på begge sider, så den også bliver lig med 2.25, ligesom ligninen for cirkel 1.

Begge ligninger bliver derfor lig med 2.25, og derfor vælger jeg at behandle dem som 2 ligninger med 2 ubekendte.

Jeg burde selvfølgelig have skrevet, at det var det, jeg gjorde, og så kan jeg godt se, at jeg har lavet en fejl. Der skulle selvfølgelig stå:

(y-1)^2 + x^2 + 1.25 = 2.25

Jeg vil prøve at reducere :) 

-tak for hjælpen

y^2 + x^2 = (y - 1)^2 + x^2 + 1.25

⇔

y^2 = (y – 1)^2 + 1.25

⇔

y^2 = y^2 - 2y + 1 + 1.25

⇔

0 = -2y + 1 + 1.25

⇔

2y = 2.25

⇔

y = 1.125

Så er der styr på det :-)

Man skal løse de to ligninger

x² + y² = (3/2)² ,

x² + (y-1)² = 1² .

Trækker man den sidste ligning fra den første fås

y² - (y-1)² = (3/2)² - 1² , dvs

(y + y-1)·(y - y+1) = ((3/2)+1)·((3/2)-1) , eller

2y - 1 = (5/2)·(1/2) , eller

y = (1/2) + (5/8) = 9/8 , og dermed

x² = (3/2)² - (9/8)² = ((3/2)+(9/8)) · ((3/2)-(9/8)) = (21/8)·(3/8) = 63/64 , og dermed (da x > 0),

x = (3·√7) / 8

Opgaven kan også løses rent geometrisk, idet man ser, at trekant ACE er en ligebenet trekant med de tre sidelængder a = e = 1 og c = 3/2 . Man kan derfor benytte en cosinusrelation til at bestemme vinkel A:

cos(A) = (c² + e² - a²) / (2ce) = ((3/2)² + 1² - 1²) / (2·(3/2)·1) = (9/4) / 3 = 3/4 .

Vi finder nu

x_E = h_e = c·sin(A) = (3/2) · √(1 - (3/4)²) = (3/2)·(√7)/4 = (3·√7) / 8  , og

y_E = c·cos(A) = (3/2)·(3/4) = 9/8

Tak for hjælpen :)