rækker

Hvad har egenværdier med taylorrækker at gøre og hvad mener du med de mystiske udtryk ? Kan vi ikke få hele opgaven?

jo jeg vedhæfter opgaven, det b)

UPS det er perturbationsteri i kvantemekaniske beregninger. Det er så lang tid siden at jeg har haft det at jeg må melde pas.

En metode til numerisk at finde egenvektorer og egenvektor er at man starter med en vilkårlig vektor u og finder Aⁿ*u. Det vil sortere den egenvektor, der har den største egenvektor ud

okay men jeg har fundet de egenværdier for b) nu mangler jeg bare at expand them as power series, og det der det går galt?

Man finder egenværdierne ved at løse ligningen

det(H - λE) = 0 , dvs

(V₀(1-ε)-λ)·((V₀-λ)(2V₀-λ) - V₀²ε²) = 0 ,

dvs

λ = V₀(1-ε) ∨ (V₀-λ)(2V₀-λ) - V₀²ε² = 0 , eller\

λ = V₀(1-ε) ∨ λ = V₀·(3 ± √(1+4ε²))/2

I opgavens spm b) skal man så rækkeudvikle de tre egenværdier i ε , i det |ε| << 1 . Den første egenværdi er jo allerede rækkeudviklet, så det drejer sig om at rækkeudvikle √(1+4ε²) i ε .

Benyt, at √(1+x) ≈ 1 + (1/2)x -(1/8)x² + (1/16)x³ - ...

tak for det gode svare. Men nu tænker jeg hvordan ved vi at vi skal kun kigge på √(1+4ε²) og hvorfor bruger vi den der række?.. jeg prøver også at benytte den på √(1+4ε²) men jeg 1+4/2ε²-4/8ε⁴

Det sidste led bliver -(4ε²)²/8 = -16ε⁴/8

#6

Egenværdien λ = V₀·(1-ε) er jo allerede rækkeudviklet i ε som udtrykket står. Tilbage er de to egenværdier

λ = V₀·(3 ± √(1+4ε²))/2

og i begge indgår √(1+4ε²) , så opgaven går ud på at rækkeudvikle denne kvadratrod i ε :

√(1+4ε²) ≈ 1 + (1/2)·4ε² -(1/8)·(4ε²)² = 1 + 2ε² - 2ε⁴ ,

så de to egenværdier bliver da

λ = V₀·(3 ± (1 + 2ε² - 2ε⁴))/2 , dvs

λ₂ = V₀·(2 + ε² - ε⁴) , og

λ₃ = V₀·(1 - ε² + ε⁴) ,

sammen med

λ₁ = V₀·(1 - ε)

Hvis der kun skal udvikles til 2. orden i ε, smider man leddene med ε⁴ væk.

hvis i kan hjælpe mig i opg. c) kunne det være godt, fordi vi skal finde H'. for at kunne finde egenværdierne, håber i kan hjælpe?