Matematik
ligning med komplekse tal
Okay, jeg spørger her i desperation fordi jeg ikke kan få en ligning til at give mening, når jeg regner den med komplekse tal:
løs:
-iz2+2iaz-i = 0 (1)
Man kan selvfølgelig faktorisere i ud men lad os lige gøre det med i inden for, for jeg laver af en eller anden grund en mærkelig fejl, som gør at jeg ikke får det samme som ved i faktoriseret:
Vi har:
d = -4a2+4
og så er rødderne:
r+- = (-2ia ± 2√(1-a2))/(-2i) = a ± i√(1-a2)
Så vores polynomium kan faktoriserers som:
(z-a-i√(1-a2))(z-a+i√(1-a2))
MEN. Når jeg ganger dette ud får jeg ikke det som er givet i (1) - man kan jo næsten se at der ikke kommer til at indgå i i udtrykket ganget ud. Kan et vågent øje spotte, hvor jeg laver fejl?
Svar #1
23. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man har
d = b2 - 4ac = (2ia)2 - 4·(-i)·(-i) = -4a2 +4 = 4(1 - a2) ,
og dermed
z = (-b ± √d)/(2a) = (-2ia ± 2√(1-a2))/(-2i)
= (-2ia ± 2i√(a2 -1))/(-2i)
= a ± √(a2 -1)
Ligningen z2 -2az +1 = 0 har diskriminant d = 4a2 -4 = 4(a2-1) , og dermed
z = (2a ± 2√(a2-1))/2 = a ± √(a2 -1)
I øvrigt er
(z-a-i√(1-a2))(z-a+i√(1-a2)) = (z-a)2 - i2(1-a2) = z2 -2az +a2 +1 -a2 = z2 -2az +1
Polynomiet (z-r1)(z-r2) er den normerede form for polynomiet. I ligningen hvor der indgår en faktor i, er polynomiet ikke normeret. Derfor får man ikke det oprindelige polynomium, når man ganger den normerede form ud.
Svar #2
23. maj 2012 af Mathematica (Slettet)
hmm okay. Hvad betyder den normerede form? Jeg troede altid man kunne gå entydigt tilbage til sit polynomium.
Svar #3
23. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Et 2.-gradspolynomium er normeret, når koefficienten til z2 er lig med 1.
Både polynomiet z2 -2az +1 og 10000·z2 - 20000·az + 10000 har de samme rødder r1 og r2, men man kommer jo kun tilbage til den normerede form, når man udregner (z-r1)(z-r2) .
Skriv et svar til: ligning med komplekse tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.