Integration

Hvis det du mener med fast x er at funktionen er:

∫f(x,y)dy

så ville jeg:

∫y*(x^2-e^(y^2))dy => ∫y*x^2-y*e^(y^2))dy => ∫y*x^2dy - ∫y*e^(y^2))dy og så integrerer dem hver for sig.

Hej! Hvilken regel bruger du her? Må man godt bare gange ind i en parentes i et integral? Og hvordan vil du integrere e^{-y^2}?

Integralet

∫ y e^{-y^2} dy

klares med substitutionen t = y² , dt = 2y dy

Jeg må indrømme at jeg stadig ikke helt er med.

Jeg multiplicerer y på leddene i parentesen, og benytter differensreglen og splitter integralet op i to:

∫yx² dy - ∫y*e^{-y^2} dy

Men det sidste integrale er jeg stadig ude af stand til at løse. Jeg genkender, at sidste integrale indeholder to funktioner, y og e^{-y^2} . Derfor synes jeg umiddelbart at jeg skal benytte partiel integration. Men jeg støder ind i det problem, at jeg ikke i forvejen kender stamfunktionen til e^{-y^2}. Og hvis jeg forsøger at benytte integration ved substitution først, så kan jeg ikke integrere, fordi integralet indholder et produkt af to funktioner.

Hjælp :)

#4

Det hedder et integral.

Benyt substitutionen i #3 til at integrere y·e^{-y^2} :

₀∫¹ y·(x² - e^{-y^2}) dy = x²·₀∫¹ y dy - ₀∫¹ y·e^{-y^2} dy

                                 = x²·[y²/2]¹₀ - ₀∫¹ (1/2)e^-t dt

                                 = (1/2)·x² - (1/2)·[-e^-t]¹₀

                                 = (1/2)·(x² + e^-1 -1)

I linje nr. 2, hvor du sætter 1/2 foran e, hvordan går det til?

Jeg har som dig, t = y^2   og   dt = 2y dy

Så får jeg følgende udregning (kun sidste del af interalet):

₀∫^₁ y·e^{-y^2} dy       t = y^2   og   dt = 2y dy

= ₀∫¹ y·e^-t dt/2y

= ₀∫¹ e^-t dt/y

....

Men det er ikke rigtigt vel?

#6

Det kommer jo fra substitutionen t = y² . Så er dt = 2y dy , eller y dy = (1/2) dt . I integralet   ∫ y·e^{-y^2} dy  skriver man så e^-t i stedet for e^{-y^2} , og man skriver (1/2) dt i stedet for y dy :

 ∫ y·e^{-y^2} dy = ∫ (1/2)·e^-t dt

Ah :) Det er klart. Mange tak for din hjælp, igen.

Emnet har stadig ikke åbenbaret sig for mig, helt endnu.

Jeg sidder nu med følgende ubestemte integral:

∫ x³*2^{x^4} dx

Jeg sætter t = x^4   og    dt = 4x^3 dx

Her kommer min udfordring så. Jeg vil gerne "fjerne" x^3 i integralet, men nu har jeg 4x^3.

Havde der stået  dt = x^3 dx  havde jeg blot lavet følgende: dt = x^3 dx   =>    dx = dt/x^3   og så derefter reducere x^3 væk. Men prøver jeg dette, så får jeg at 4dx = dt/x^3 og det kan jeg ikke rigtig bruge til noget. Jeg har i ørvigt flere eksempler på integration ved substitution, hvor dx isoleres, og ikke dt. Hvornår kan skal man det ene, og hvornår skal man det andet?

#9

Så er x³ dx = (1/4) dt . Der kommer således en faktor (1/4) ind i integralet, når substitutionen udføres, af helt samme grund, hvorved der kom en faktor (1/2) ind i det forrige integral. Du skal lade være med at isolere dx , som du gør det. Man skal ikke blande de to variable; hold dem adskilt på hver side af lighedstegnet. Det drejer sig om at substituere noget nyt for den gamle variable.

Er min løsning korrekt?

∫ x³*2^{x^4} dx  

t = x⁴ , dt = 4x³ dx =>  1/4 dt = x³ dx

∫1/4 2^t dt = (1/4*2^t)/(ln(2)) = 1/4x³*(2^{(x^3)})/(ln(2))

rettelse

∫1/4 2^t dt = (1/4*2^t)/(ln(2)) = (2^{(x^4)})/(4*ln(2)) + k

#11

Det er korrekt indtil det sidste lighedstegn, hvor du så ikke substituerer korrekt tilbage igen. Du skal jo så substituere t = x⁴ tilbage, og der er kun eet sted, hvor t indgår. Husk også integrationskonstanten k til sidst, hvis der er tale om et ubestemt integral.

Med rettelsen i #12 er stamfunktionen så korrekt.

igen, tak!