Kurveintegral

Du skal udregne ∫∂F/∂x dx/dt +∂F/∂y dy/dt  + ∂F/∂z dz/dt dt

Jeg er ikke helt med.

Hvordan udregner jeg f.eks.:

∂F/∂x dx/dt = 1/(1+y²+z²) dx/dt

Det gør du ved at bruge at x(t) = ln(1+t²), y(t) = cos(t), z(t) = sin(t)

Du kan forestille det som en partikel der bevæger sig langs en kurve r(t) med hastigheden r'(t) = v(t). Funktionsændringen kan angives som gradienten af F så ændringen af F for en et kort stykke tid bliver grad(F)·v(t)dt

Tak for din tid, Peter.

Jeg er stadig på herrens mark her. Jeg har løst forskellige kurveintegraler, for både vektorfelter og gradientfelter. Men den her minder ikke rigtig om noget af det synes jeg.

Hvis jeg går igang med at udregne kurveintegralet for vektorfeltet jf. den opskrevne formel, skal jeg så opfatte første led som F₁(x,y,z)*x'(t), eller blot som F₁(x,y,z)?

Kan du i øvrigt give mig svar på hvordan det hænger sammen notationsmæssigt? Jeg er lidt forvirret over at der er ét integraletegn men både dx, dy og dz. Normalt aflutter disse et integrale.

#4

Hele integralet langs kurven er et integral af en funktion af t alene. Man har, med

(x(t) , y(t) , z(t)) = (ln(1+t²), cos(t), sin(t)) , at

∂F/∂x = 1/(1 + y² + z²) = 1/2

∂F/∂y = -2xy/(1+y²+z²)² = -(1/2)·ln(1+t²)·cos(t)

∂F/∂z = -2xz/(1+y²+z²)² = -(1/2)·ln(1+t²)·sin(t) ,

og dermed

_Ka∫ [ F'_x(x,y,z)dx/dt + F'_y(x,y,z)dy/dt + F'_z(x,y,z)dz/dt ] dt  = ₀∫^a [ t/(1+t²) ] dt ,

idet bidragene fra dy/dt og dz/dt forsvinder.

Jeg tror ikke helt jeg forstår dit problem, men jeg forsøger med en forklaring hvor jeg holder mig til ændringer i x aksens retning. Det skal selvfølgelig gentages for de andre retninger

Ændringen af F når du bevæger dig stykket dx i x aksens retning er dF = ( ∂F/∂x)*dx. Nu er vi mere interesseret i en ændringen af t, som er dt. Ændringen i dx som følge af ændringen af t med dt er dx = dx/dt *dt Sætter du det ind i ændringen af F får du dF = (∂F/∂x) *( dx/dt) *dt

Du skal altså bruge F'_x(x,y,z) hvis du skal beskrive det som en følge af ændringen af x med dx men F'_x(x,y,z)x'(t)*x'(t) hvis du skal beskrive det som en følge af en ændring af t med størrelsen dt. I det foreliggende tilfælde er det den sidste du skal bruge fordi ændringerne er beskrevet med ændringer af t.

Et integraltegn skal slutte med et dx, du, dt eller lignende hvor symbolet der står efter d angiver hvilken variabel, der skal integreres efter. I det aktuelle tilfælde er det t, der er den variabel, der skal integreres efter.

#5

Jeg betragter F₁ som dF/dx, F₂ som dF/dy og F₃ som dF/dz

Hvis jeg indsætter i formlen K∫F*dr = a∫b(F₁(x(t),y(t),z(t)))*x'(t)+(F₂(x(t),y(t),z(t)))*y'(t)+(F₃(x(t),y(t),z(t)))*z'(t) dt

og x'(t) = 2t/(t²+1)  ,  y'(t) = -sin(t)  og  z'(t) = cos(t)

får jeg da:

₀∫^a 1/2*2t/(t²+1) - 1/2*ln(1+t²)*cos(t)*(-sin(t) - 1/2*ln(1+t²)*sin(t)*cos(t) dt

Hvad gør jeg galt?

#6

Helt overordnet så er min opgave formuleret som i #1

Med ét integraletegn efterfulgt af først dx, så dy og til sidst dz.

Normalt ville jeg synes at integralen var slut efter første dx.

F.eks.: ∫f(x,y) dx ; her skal stamfunktionen til f(x,y) beregnes med hensyn til x.

Det er da rigtigt. ½ går ud med 2 i det første led. De 2 næste er det samme men med modsat fortegn, så de går ud mod hinanden.

Du bevæger dig langs en kurve hvor F ændre sig eftersom man bevæger sig ud af x, y eller z aksen. Ændringen af F hvis du bevæger dig ud af y aksen   er F'_y*dy og ud af z aksen er det F'_zdz Dette kan så omformes til ændringer i t på samme måde som ovenfor. Alle disse ændringer skal med altså lægges sammen for at få den totale ændring af F

Okay. Det kan jeg godt se, nu du siger det. Forhåbentlig stiger overblikket med træning. Du skal have mange tak for hjælpen her på en højhellig lørdag :)

Tillad mig at få afprøvet om jeg bruger rigtig metode:

Jeg har en ny kurve med parameterfremstillingen L_a: s_a(t)=(2t²,t,t), t∈[0;a]  (funktionen er den samme)

Opgaven lyder: Udregn kurveintegralet: _La∫F'_x(x,y,z,)dx

= ₀∫^a 4t(1/(1+t²+t²) dt

substitution: u=1+t²+t² , du=4t dt   og

u(0)=1

u(a)=1+2a²

således at

₁∫^{2a^2} 1/(u) du = [ln(u)]₁^{1+2a^2} = ln(1+2a²)

Rettelse: Jeg havde først sat u(0)=0, men det var naturligvis 1.

Det er ikke kurveintegralet du udregner når du kun tager dx delen med

Jeg har vedhæftet hele opgaven. Det er nr. 9d...

I almindelighed er det ikke kurveintegralet langs den pågældende kurve. Der underforstås nemlig at y og z er konstante, hvad de jo ikke er på den pågældende kurve. Her kan den delvis forsvares med at selvom y og z ikke er konstante er funktionen uafhængig af y(t) og z(t)  på den pågældende kurve.

Okay, så opgaven er løst korrekt? :)

Hvis du mener opgaven i #10 har du ikke integreret funktionen langs den pågældende kurve.

Øv, jeg synes det virkede så logisk i forlængelse af den anden opgave. Kan du give et hint om hvad jeg har gjort galt?

Du har undladt at tage leddene F'_y*y'(t)dt og F'_z*z'(t)dt med

Men jf. opgaveformuleringen, så skal de led da ikke med, skal de?

Dét du lægger op til, er jo det jeg har gjort i forrige opgave, blot med en ny kurve.

Dét du siger, som jeg forstår det er så:

K_a∫F'_x(x,y,z,)dx = K_a∫ F'_x(x,y,z)dx + F'_y(x,y,z)dy + F'_z(x,y,z)dz

Hvis det er tilfældet, så forstår jeg slet ikke notationen :/

#18

Jeg forstår heller ikke notationen i opgaven for integralet langs kurven La . Det første integral langs kurven Ka kan betragtes som

_Ka∫ (∇F) • dr = _Ka∫ (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) • (dr/dt) dt = _Ka∫ (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) • (x'(t),y'(t),z'(t)) dt ,

hvilket så blev udregnet ovenfor.

Jeg har nu løst et par lignende opgaver, og det lader til at metoden i #10 er korrekt. Det lyder jo umiddelbart som om at notationen kan kritiseres, men det må jeg lade klogere hoveder afgøre. Hovedsagen for mig er at kunne løse eksamensopgaverne :)

I skal have mange tak, begge to.