Komplicerede længden

Buelængden beregnes som

L = _a∫^b (1 + (f '(x))²)^1/2 dx

Din version af Simpson er ikke helt korrekt. Det skal være

L ≈ (h/3)·(g(a) + 4g((a+b)/2) + g(b))

Det bliver jo kun en grov tilnærmelse med så grov en intervalinddeling.

#1

Hov, havde nemlig glemt at sætte kvadratroden på! I dette tilfælde er, at a + b = b, for a = 0. Men, du har helt ret, og det er altid rart at blive rettet og bekræftet! Ja, resultatet vil ikke vise særlig godt, altså der er en stor afgivelse, når jeg sammenligner det med den numæriske integral vha CAS. Der er jo klart, for der kun er to intervaldelinger, vil svaret ikke være lige så meget/god som den virkelige (CAS). Lyder det rigtigt, hvad jeg siger?

#2

Simpsons formel er en metode af 4. orden. Fejlen er groft set proportional med h⁴ . Gør man h 2 gange mindre, skal man forvente en fejl, der er ca 16 gange mindre.

#3

Ja, jeg kan godt se din pointe. Jeg har fået oplyst, at funktionen af f, lyder f(x) = 1 - e^{(1/4)x^2 - 1}. Jeg har selvfølgelig brugt CAS til at bestemme funktionen af g(x), altså integranden - for det tager længere tid til at regne det ud i hånden. Ved hjælp af Simpsons metoden, fik jeg det til at være L ≈ 1.49 , mens den numæriske integral siger L = 1.61. Tror du, jeg har udregnet det rigtigt?

#4

Det kan jeg ikke gennemskue. Du har heller ikke oplyst, hvilket interval du integrerer over.

#5

Undskyld. Se

L = ₀∫² (1 + (f'(x))²)^1/2 dx = 1.61

Vha Simpsons metoden med n = 2 inddelinger,

L ≈ (h/3)·(g(a) + 4g((a+b)/2) + g(b)) = (1/3)·(g(0) + 4g(1) + g(2))

                                                          = (1/3)·(1 + 3.4957 + 0)

#6

Er f(x) = 1 -e^{(1/4)x^2 -1}  ? , dvs f '(x) = -(1/2)x·e^{(1/4)x^2 -1}

#7

Se vedhæftet fil, som jeg har brugt TI-InterActive til at regne ud for os. Jeg mener, at håndkraft (som du er god til) tager meget lang tid i dette tilfælde pga. mærkelige potenser - så behøver du ikke bruge din tid på det.

(Glemte at vedhæfte)

#8

Men svar mig nu på, hvad f(x) er, for det fremgår ikke af det vedhæftede. Dir udtryk

g(x) = √( 1 + d/dx(f(x)) )

ser ikke rigtigt ud. Der skal jo indgå kvadratet på f '(x) .

(Glem det her, se næste, #12)

Jeg tror jeg har lavet det hele forkert. Jeg beklager meget ...

Jeg har vedhæftet den rigtige. Du skal lige vide, at jeg ikke kan skrive f'(x) på programmet, derfor skriver jeg "d(f(x))/dx" istedet for f'(x).

#12

Ja, jeg fik noget lignende som dit resultat her, før jeg forlod min anden maskine.

#13

Mange tak for hjælpen.