Et spørgsmål!

Hvis der skal være netop 2 løsninger til en trediegradsligning har grafen x-aksen som tangent.

Du har tidligere fundet max og min der hvor kurven har vndrette tangenter, Er en af dem ikke x-aksen?

lokalt max x = 1,5 , f(1,5) = 2

lokalt min x = 2,5 , f(2,5) = 1

Så nej, en af dem er ikke x-aksen ..

Det drejer sig om funktionen f(x) = 2x³ -12x² +(45/2)x -(23/2) . Man laver monotoniundersøgelse for f(x) ved først at løse ligningen f '(x) = 0 . Vi har

f '(x) = 6x² -24x + (45/2) = 0 ⇒x² - 4x + (15/4) = 0 ⇒ x = (4 ±√(16 -15))/2 = 2 ± (1/2)

Den afledede har da fortegnsvariationen + 0 - 0 +

med lokalt maksimum 2 for x = 3/2 , og lokalt minimum 1 for x = 5/2 .

Hvis k < 1 har ligningen f(x) = k netop een løsning. Hvis 1 < k < 2 har ligningen f(x) = k hele 3 forskellige løsninger, og hvis k > 1 har ligningen f(x) = k netop een løs. Hvis k = 1 eller hvis k = 2 har ligningen f(x) = k netop 2 løsninger.

I #1 tænker Mette på, at grafen for funktionen skal have lokalt ekstremum i et punkt x , hvor f(x) = k .