Potensvækst og differentialkvotient

Vigtige punkter at komme ind på:

Påvisning at potenssammenhæng på dobbeltlogaritmisk, herunder komme en på systematisk og tilfældig afvigelse.

Regneforskrift ud fra to punkter

Dm(f) og Vm(f)

Differentialkvotienten af (x^a):

For x>0 er x^a defineret ved:

ln(x^a)=a*ln(x) eller givet ved x^a=e^{a ln(x)}

Den sidste funktion er en sammensat funktion bestående af e^x og a*ln(x). Derved er differentialkvotienten givet ved:

(x^a)'=(e^{a ln(x)})'<=>e^{a ln(x)}*(a*ln(x))'<=>x^a*a/x<=>a*x^a-1

Tusind tak for svarene! :-)

Men er disse svar på, hvorledes man kan bevise a's betydning for grafens udseende? :-)

På forhånd tak, 

Nej i det du skrev i #0 der har du vist hvorledes a bestemmer grafens udseende. De ting jeg skrev er noget du skal komme ind på til mundtlig eksamen, og det er ret vigtigt hvis du vil have en god karakter. Hvis tiden tillader det så forventes det også du kommer med eksempler på potensmodeller.

Okay - tak for de gode råd :-)

Men hvis jeg forstår dig ret: man kan ikke bevise a's betydning for grafens udseende (hverken generelt eller via differentialregning?) 

Du kan jo netop konkluderer her at (x^a)' for a>0 gælder (x^a)'=a*x^a-1 og for a<0 (x^a)'=-a*x^a-1, differentialkvotienten er positiv og henholdsvis negativ, dette afgører således om potensfunktionen i punktet x er voksende eller aftagende.

Tusind, tusind tak for hjælpen - lige hvad jeg manglede! :-)

Kan man bevise noget lignende ved eksponentialvækst? Altså at grafen er voksende for a>1 og aftagende for 0<a<1? 

På forhånd tak ! 

Ja det kan du godt, hvis du har beviset i forvejen så ved du jo følgende:

(a^x)'=ln(a)*a^x. Du kan her udnytte at når 0<a<1, så giver ln(a) noget negativt, altså er funktionen aftagende. Er a>1 så giver ln(a) noget positivt, altså er funktionen voksende. Du kan altså bevise om den eksponentielle funktion er voksende eller aftagende ved at benytte differentialkvotienten og så kigge på værdien for ln(a).

Ej hvor er du god! 

Tusind tak - det har taget mig en hel dag at forsøge på, at finde ud af dette! :-)