Matematik
lineære differentialligning af 1. orden
Hvad vil det sige at jeg skal gøre rede for den lineære differentialligning y'=f(x)*y+g(x) ??
Svar #1
13. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
Forklar, hvad en differentialligning er, og vis formlen for den generelle løsning til denne differentialligning.
Svar #2
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#1
når jeg skal vise formlen for den genrelle løsning, så skal jeg vel ikke bevise? og hvordan finder jeg frem til denne løsning?
Svar #4
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#3
så jeg skal vise løsningen vha. panserformlen? men hvorfor er netop denne ligning en lineære differentialligning?
Svar #5
13. juni 2012 af PeterValberg
Nej, - efter min mening går spørgsmålet ud på at udlede panserformlen
som løsning til den inhomogene diff.lign.
y' = f(x)·y + g(x)
hvilket er hvad jeg gør i notatet, der burde kunne bruges som
disposition til det eksamensspørgsmål.
Svar #7
13. juni 2012 af PeterValberg
God fornøjelse med det :-)
Jeg skal nok krydse fingre for dig... hvornår skal du til eksamen ?
Svar #9
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#7
Jeg har endnu et spørgsmål:
Differentialligningen y'(t)=a(t)*y(t)+b(t) er det den samme som y'+h(x)*y=g(x) ?
Svar #11
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#10
men hvorfor er løsningen til dem så ikke ens?
Til den første er løsningen y(t)=e-A(t)*∫b(t)*eA(t)dt+c*e-A(t)
Og den anden har løsningen: y=e-H(x)*(∫eH(x)*g(x)dx+c)
Svar #12
13. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
#11
Det er jo samme løsningsformel, men det burde det ikke helt være, da a(t) skal udskiftes med -h(x) .
Svar #13
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#12
Jeg forstår ikke helt hvad du mener?
I den første løsningsformel er der et led for meget i forhold til den anden løsning,
det er det jeg ikke helt forstår.
Svar #14
13. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
#13
Nej, der er da præcis de samme led i de to formler. I den sidste er e-H(x) sat udenfor som en faktor, mens i den første er e-A(t) ganget ind på hvert led.
Svar #15
13. juni 2012 af A666 (Slettet)
#14
ja nu forstår jeg det bedre! Havde lige overset den :)
Tak for hjælpen!
Svar #16
13. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
#15
Min pointe før var, at i ligningen
y'(t) = a(t)y(t) + b(t)
sidder a(t)y(t) på højre side, mens det tilsvarende led i ligningen
y'(x) + h(x)y(x) = g(x)
sidder på venstre side. Løsningen til den første ligning er faktisk
y(t) = eA(t) · ( ∫ e-A(t) · b(t) dt + c )
og ikke som du har skrevet den i #11.
Svar #19
14. juni 2012 af A666 (Slettet)
#18
Du siger at den første løsning til differentialligning er forkert?
Jeg indsætter også i løsningsformlen, men jeg kan se at vores fortegn ikke er ens,
hvordan kan det dog være?
Svar #20
14. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
#19
Det skyldes, som jeg skrev tidligere i #16, at du har har formuleret den første ligning således
y'(t) = a(t)y(t) + b(t) ,
mens den anden ligning er formuleret
y'(x) + h(x)y(x) = g(x)
For at få den første ligning på samme form som den anden ligning, skal den skrives
y'(t) - a(t)y(t) = b(t) ,
og det er derfor, fortegnene er forskellige.