Svært reelt integrale

Man har

₀∫^∝ cos x / (x² + 1) dx  =  ^π/₂·e^{- 1}

Man har også:

∀ x ∈ R   cos x  =  cos (- x)

For z = r*i  r> 1 får du f(z) = ½(e^-r+e^r)/(1-r²) -> -∞ for r -> ∞. så grænseværdien af |z|*max|f(z)| for |z| -> ∞ eksisterer ikke

Okay nej, men det er jo lidt foruroligende eftersom dette er den standard metode at løse disse reelle integraler på. Hvilken metode kan så benyttes, hvis ovenstående ikke duer?

 Når du holder dig til den positive plan får du cos(z)/(z+i)(z-i) med polen i.Ved indsættelse af polen giver det (e^-1+e¹)/2/(i+i) hvilket ikke giver facit. Integralet rundt i den øvre halvplan skal altså ikke give 0, Det mere generelle er at man vælger en passende kurve og foretager integrationen langs kurven. Det rent umiddelbare er en halvcirkel eller en "kasse.", men det giver ikke nogle simple integraler

hmm jeg ved ikke om du misforstår. Det reelle integrale i #1 kan kun overføres til det komplekse plan, hvis bidraget fra  buen bliver 0 - dvs. at vi integrerer langs et vandret linje på x-aksen fra -∞ til ∞ samt en vilkårlig bue. Hvis bidraget fra denne bue er nul kan man med sikkerhed findes polerne på x-aksen og bruge residueteoremet. Måske forstår jeg det ikke. Jeg kan bare ikke se, at bidraget fra buen skulle give 0 :(

Kurveintegralet langs en lukket kurve kan findes ved at bruge reglen om polerne inde i kurven. Hvis den ene del af kurven går langs den reelle akse kan man finde integralet langs den reelle akse, hvis man kender resten af kurveintegralet. Hvad denne rest er er ligegyldigt i princippet; men i praksis er det mest bekvemt at det er 0.