Bevis

- Jeg er temmelig sikker på, at din mat.-bog kan . . .

;-)

Der står desværre ikke beviset i min matematik bog - ellers ville jeg ikke have spurgt herinde :D

#2

Du kan se et bevis her

http://en.wikipedia.org/wiki/Annuity_(finance_theory)

Der forklare den intet om beviset? 

Der gælder for en kvotientrække:

Summen S_n = a₁ * (qⁿ-1) / (q-1), hvor a₁ er ydelsen og q = (1+r) altså

Annuiteten A_n = y * ((1+r)ⁿ-1) / (1+r-1) = y/r * ((1+r)ⁿ-1)

;-)
 

Er det beviset? tror ikke min lærer acceptere dette som bevis, hvis jeg skal op og fremlægge det :(

Det ER faktisk beviset - men det kræver, at man kar lært om rækker (differens- og kvotientrækker) ;-)

Jamen så er det da flot af min lærer, som ikke hart lært os de 2 ting, du nævnte :) men tak for hjælpen

Jeg har svært ved at forestille mig, at man forventer, du skal bevise noget, du ikke har lært om -

Det skal jeg, vi havde kun ca 4 moduler om opsparing og lån, men er der ingen andre måder at bevise dette på? 
Der findes næsten altid flere forskellige måder at bevise sætninger på, så jeg tvivler på at dette er den eneste måde :/

a1*q + a1*q^2 +..........+ a1 * q^n =

a1 * (q + q^2 + ......+ q^n)

Beviset for summen af en kvotientrække findes her:

https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=936035
 

Ved nærmere eftersyn er det nu ikke den samme formel, der bevises her -

men det er et induktionsbevis, du skal have fat i, så find

BEVIS KVOTIENTRÆKKE SUM

eller

INDUKTIONSBEVIS

på SP (søgefeltet) eller Google

Men som sagt - hvis beviset ikke står i din mat.-bog, kan ingen forvente, at du skal gøre rede for det.  ;-)

Forudsætning:

Hver termin indættes b kr. på en konto, hvor renten er r. A_n er beløbet på kontoen umiddelbart efter indbetalingen af det n'te bidrag.

Formel:

A_n = b·(((1+r)ⁿ-1)/(r))


Bevis:

Det første beløb, der indsættes, får tilskrevet renter n gange, inden kontoen gøres op. Dermed bliver det fremskrevet til b·(1+r)ⁿ. Det næste beløb får renter en gang færre, og der haves altså b·(1+r)^n-1.
Det næstsidste beløb, der indsættes, får kun tilskrevet renter én gang og bliver altså til b·(1+r). Det sidste beløb når slet ikke at få tilskrevet renter.
Lægges alle disse beløb sammen, får vi det samlede beløb på kontoen umiddelbart efter den sidste terminsbetaling.

A_n = b·(1+r)ⁿ+b·(1+r)^n-1+b·(1+r)^n-2+ ... +b·(1+r)+b =
        b·[(1+r)ⁿ+(1+r)^n-1+(1+r)^n-2+ ... + (1+r)+1]

Indholdet af denne store paretens kaldes for summen af en kvotientrække, fordi forholdet (kvotienten) mellem et led og og det næste er konstant (her: 1+r).

Sætning for summen af en kvotientrække:

Summen af en kvotientrække a, as¹, as², as³, as⁴, ..., asⁿ med n led beregnes ved

S_n = a·((sⁿ-1)/(s-1))

, hvor n angiver antallet af led i kvotientrækken.

Hermed kan vi se, at

(1+r)ⁿ+(1+r)^n-1+(1+n)^n-2+ ... +(1+r)+1 = ((1+r)ⁿ-1-1)/(r)

, hvilket forklarer, hvorfor

A_n = b·(((1+r)ⁿ-1)/(r))