Tripleintegrale i cylinderkoordinater

Funktionen, der skal integreres er konstanten 1. Det er grænserne, der udskiller det korrekte volumen. I cylinderkoordinater integreres der over

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π , og r⁴ ≤ z ≤ 1 ,

dvs.

V = ₀∫¹ ₀∫^2π _r^4∫¹ r dz dθ dr = 2π · ₀∫¹ r·(1-r⁴) dr

Hvad fortæller dette: z=(x²+y²)2

Er det pga x²+y²=r²

Hvilket medfører den øvre grænse i dz bliver til r⁴ da (r²)²

Og hvor kommer 1 fra i z-grænsen, er det pga z=1?

#2

De to flader

z = (x²+y²)² = r⁴ og z = 1 skærer hinanden i cirklen r = 1 , z = 1 .

Området T ligger inde i cylinderen 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .

Beregner man rumfanget efter metoden i #1, finder man

V = 2π/3 .

Rumfanget kan også beregnes som rumfanget af et omdrejningslegeme ved at dreje grafen for funktionen

f(x) = x^1/4 , 0 ≤ x ≤ 1

360º omkring x-aksen. Man finder så for rumfanget

V_x = π · ₀∫¹ (f(x))² dx = π · ₀∫¹ x^1/2 dx = π · (2/3) · (1^3/2 - 0) = 2π/3

Siger endnu engang mange tak for hjælpen :-)

Kan du forklare hvorfor det er konstanten 1 der skal integreres over? 

#6

Fordi dV = r dz dθ dr = 1 · r dz dθ dr

Tak #7 

Jeg har dog et spørgsmål mere, 

i min kompendium står følgende 

∫_R f(x,y,z) dV = _α^β∫ _g1(θ)^g2(θ)∫ ^h2(r,θ) _h1(r,θ)∫ f(r cos(θ), r sin(θ), z) r dz dr dθ

hvordan skal de grænser forstås? 

og hvad med den funktion f som integreres over? 

#9

Jeg har desværre ingen anelse om, hvad der går for sig i dit kompendium.

Tror måske jeg fik det skrevet forkert ind, det er ikke nemt med de værktøjer som SP tilbyder, når det kommer til udtryk som denne. 

Men kan du fortælle mig hvordan du kommer fra 

V = ₀∫¹ ₀∫^2π _r^4∫¹ r dz dθ dr = 2π · ₀∫¹ r·(1-r⁴) dr

Du springer nok et trin over, er det ikke sådan som nedenstående

V = ₀∫¹ ₀∫^2π _r^4∫¹ r dz dθ dr = 2π · ₀∫¹ _r^4∫¹ r dr dz

hvor du så regner videre? 

men så får jeg 

2π · 0∫1 r^4∫1 r dr dz = 2π · ₀∫¹  [1/2 r²]¹ _r^4 dz

#11

Det drejer sig om det inderste integral i z:

_r^4∫¹ r dz = [r·z]¹_r^4 = r·(1 - r⁴)

Integralet i dθ giver blot en faktor 2π , så tilbage er der så integralet i r:

V = 2π · ₀∫¹ r·(1 - r⁴) dr

Differentialerne og integraltegnene står i en ganske bestemt rækkefølge, og man arbejder sig indefra og ud. Du kan ikke bare ændre på differentialernes rækkefølge uden også at ændre rækkefølgen af de tilhørende integraltegn med grænser.

Hov, ja det har du ret i. 

Jeg har integreret r dr i stedet r dz.