Differentialligning - Fuldstændig løsning

a) Du kan jo gøre prøve med den fundne løsning. Jeg finder, at e^-x og e^-2x er to lineært uafhængige løsninger til ligningen. Når den uafhængige variable er x, er løsningerne funktioner af x, ikke af t.

b) Her skal man gætte på en ikke-triviel løsning til den inhomogene ligning. Til en sådan løsning lægger man så samtlige løsninger til den homogene ligning.

Den homogene differentialligning er

a) y'' + 3y' + 2y = 0 .

Da ligningen r² + 3r + 2 = 0 har rødderne r = (-3 ± 1)/2 , dvs r = -2 eller r = -1 , har den homogene ligning den fuldstændige løsning

y(x) = c₁·e^-2x + c₂·e^-x .

b) Den inhomogene ligning er

y'' + 3y' + 2y = x + 1

Ved at indsætte en funktion af formen ax + b, ser man, at y₁(x) = (1/2)x - (1/4) er en løsning til den inhomogene ligning. Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning fås så ved til y₁(x) at lægge den fuldstændige løsning til den homogene ligning, som blev fundet i a).

a) Ja, jeg kan nu godt se du har ret. Jeg faktoriserde udtrykket til (r+2)(r+1) fra den karakteristiske ligning r^2+3r+2=0, men har jeg så misforstået at ved faktorisering kan finde rødder?

Har ved almindelig "rod-udregning" nu også fået r1=-1 & r2=-2

Og ganske rigtigt, det er af x, ikke af t, var vist forblændet af eksempler i bogen :)

b) Derved får man så:

y(x) = c1·e^-2x+e^-x+(1/2)x - (1/4)

?

#3

Faktorisering er da en udmærket måde at finde rødderne på. Af faktoriseringen

(r+2)(r+2) = 0

aflæser man jo rødderne r = -2 eller r = -1 .

b) Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning er så

y(x) = (1/2)x - (1/4) + c₁·e^-2x + c₂·e^-x .

Der indgår to arbitrære konstanter.

Ok, takker for hjælpen.

Skal vist have læst lidt op på faktorisering mm. :-)

Hej, vil du gennemgå hvordan du fik den partikulære løsning, hvor du indsatte Ax+b i funktionen. Jeg får nemlig ikke det samme.