Span

#0 - Vedhæftelse

Et span af n vektorer er et underrum i det vektorrum, som vektorerne selv tilhører. Kun hvis vektorerne selv er vektorer i Rⁿ vil span af disse vektorer være en delmængde af Rⁿ . Tager man 7 vektorer i R³ er span af disse vektorer et underrum i R³, ikke i R⁷.

span(v , u} er mængden af alle mulige linearkombinationer λ₁v + λ₂u , hvor skalarerne  λ₁ og  λ₂ gennemløber det til vektorrummet hørende legeme L.

#2

Og jeg antager dermed at min fortolkning er delvis rigtig ?

• Underrum; er en delmængde til det oprindelige vektorrum, hvor 0-vektoren er indeholdt, og de dertil hørende
  egenskaber for det til vektorrummet hørende legeme L (som du skriver).

• Vekorrum; er en mængde af objekter, kaldet vektorer, som kan defineres med (+ , · ) af skalarer.

• Span; som #2 - men ifølge min tegning, er det grå område så ikke et underrum af vektorrummet, hvorfor alle punkterne
   i det grå område hører til Span{v , u} ? Lidt groft sagt kan man vel kalde v og u for komposanter til et punkt i
   Span{v , u} ?

Pft.

#3

Jeg havde ikke set din tegning i #1, da jeg svarede i #2. Din tegning angiver ikke span{u , v}. Man skal også inkludere de vektorer, der ligger i topvinkelrummet til den markerede vinkel. Du har kun inkluderet linearkombinationer af u og v med positive skalarværdier. Man skal gennemløbe hele det til vektorrummet hørende skalarlegeme L (dvs her R).

Et vektorrum er ikke bare en mængde af objekter. Objekterne skal tilfredsstille en lang række betingelser om sum af vektorer og multiplikation med skalar.

Et underrum er i sig selv et vektorrum, der er indeholdt i et andet vektorrum.

Man kan kun kalde u og v for komposanter i span{u , v}, hvis u og v er lineært uafhængige vektorer.

#4

Tak! Det satte tingene i perspektiv. Fortsat god aften.

#5

Jeg var lidt for hurtig i mit svar i #4 vedrørende span{u , v} og din tegning i #1. De to vektorer er vektorer i R², og de er angivet at være lineært uafhængige, så span{u , v} er hele R² . Jeg havde i mine tanker kun betragtet linearkombinationer

λ₁u + λ₂v

hvor enten  λ₁ , λ₂ begge er ≥ eller begge er ≤ 0 . Men de skal gennemløbe skalarlegemet L uafhængigt af hinanden. Da de to vektorer u og v er lienært uafhængige, kan de betragtes som en basis for span{u , v} , og man kan netop, som du er inde på, betragte skalarerne λ₁ , λ₂ som koordinater for en vektor efter denne basis (u , v).