Optimering

f(x) = (100 + 2x)^2'

Hvad er arealet?

Sidelængden på kassen = 100 - 2x    og  højden = x

Rumfanget er da  (100 - 2x)²·x

Skal man så differentiere udtrykket og derefter sætte det lig med 0?

# 3  Gang parentesen ud i # 2  og differentiér, ja, og lig med 0, ja.

Hvordan finder man så ud af om hvilken x-værdi, der gør, at rumfanget af kassen bliver størst mulig?

            V(x) = x·(100-2x)²      0<x<50
 

              ekstrmum kræver
                                                 V '(x) = 0   og   0<x<50

                                                 V '(x) = 1·(100-2x)²  +  x·2·(100-2x) ·(-2) = (100-2x)² - 4x·(100-2x) =

                                                           (100-2x)·(100-2x - 4x) =   2(50-x)·6·((100/6) - x) =  

                                                                                     12·(50-x)·((50/3) - x)        

hvoraf
                                                 V '(x) = 12·(50-x)·((50/3) - x) = 0    og   0<x<50

Skal x så være 77074,07 for at rumfanget af kassen er størst mulig?

                                                 V '(x) = 12·(50-x)·((50/3) - x) = 0    og   0<x<50

                                                                       x = (50/3)

            ...hvis du har tegnet det, ser du, at x må være mindre end 50, hvis der skal blive en kasse ud af det!