Ligebenet trekant

Din filosofi er OK; men dine ligninger holder ikke. Hvis arealet er 3 og højden er h, gælder

A = 3 = ½·h·g     (1)

hvor g er grundlinien. g findes ved Pythagoras:

(½g)² + h² = 3²      (2)

Hvis du indsætter g fra arealligningen (1) i ligning (2), får du en 2. gradsligning med h som ubekendt. Spørgsmålet er, om den har nogen positive løsninger.

sæt y = x². Du har nu en andengradsligning i y. Den kan løses og faktoriseres på sædvanlig måde.

#1 Jeg prøver lige.

3 = ½hg  <=>  6=hg  <=>  6/h=g

(½*(6/h))² + h² = 9  <=>

(6/2h)² + h² = 9  <=>

36/4h² + h² = 9

Men det volder også besvær.. havde h² været oppe i tælleren på det første led, havde det været let nok..

#2

x⁴ - 9x² -9 = 0

y²  - 9y - 9 = 0

Havde 9 været positiv, ville jeg faktorisere den med det samme.

-(-9)±√((-9)² - 4*1*(-9))
-------------------------------   =   y
              2*1

9 ± √117
------------   =   y
     2

9 + √117
------------  = y₁
     2

9 - √117
------------- = y₂
     2

Siden at y = x² må hver løsning jo kunne give os 2 løsninger.

9 ± √117
------------   =   x²
     2

       9 ±√117
±√ ( -----------)  = x
            2

Er jeg på rette spor, eller ramte jeg ved siden af?

Findes der ingen lettere måde?

På forhånd tak

#3

Din 2.-gradsligning er ikke korrekt.

Hvis man kalder den halve grundlinie for x, er g = 2x , og der skal gælde, at

x² + h² = 3², og at h·x = 3 ,

dvs h = 3/x, og dermed

x² + 9/x² = 9 , dvs

x⁴ -9x² + 9 = 0 , og dermed

x² = (9 ± √(81-36))/2 = (9 ±3√5)/2 ,

så der er to løsninger for den halve grundlinie, nemlig

x = √((9 +3√5)/2) og x = √((9 -3√5)/2) .

Eftersom

x² + h² = 3² og h·x = 3 , dvs.

x² + h² = 9 og h²·x² = 9 ,

ser vi, at x² og h² er de to rødder i 2.-gradsligningen

z² -9z +9 = 0  .

Derfor er de til de halve grundlinier

x = √((9 +3√5)/2) hhv. x = √((9 -3√5)/2)

hørende højder da

h = √((9 -3√5)/2) hhv. h = √((9 +3√5)/2)