Homogent ligningssystem

Ax = 0

L1:  x1 + x2 + x3 = 0

L2:  x1+2t*x2 + x3 = 0

L3:  x1 + x2 + x3 = 0

L1 og L3 er ens. Så det er 2 ligninger med 3 ubekendte, uanset hvad værdien af t er. Man plejer at sige at A skal have fuld rang. Det har den ikke her uanset hvad t er

Den fuldstændige løsning er så 1-uendelighed (afhænger af x3):

x  = (-x3, 0, x3)

(skal forstås sådan at der er uendelig mange løsninger. Så længe x1=-x3, og x2=0, så går ligningssystemet op.)

#1

Værdien af t afgør, om løsningsmængden er en plan eller en ret linie.

Hvis t = 1/2 , er løsningsmængden planen med ligningen x + y + z = 0 .

Hvis t ≠ 1/2, er løsningsmængden linien med parameterfremstillingen (x,y,z) = s·(1 ; 0 ; 1) , s ∈ R .

enig, men det betyder vel også at der ikke er en entydig løsning? Er det ikke s·(-1 ; 0 ; 1)

#3

Ja, det er jeg enig i; for intet t har det homogene ligningssystem en entydig løsning. Og jo, du har ret i din korrektion til retningsvektoren for linien:

Hvis t ≠ 1/2, er løsningsmængden linien med parameterfremstillingen (x,y,z) = s·(-1 ; 0 ; 1) , s ∈ R .

Jeg takker for rettelsen.

Mange tak for jeres svar :-)

Men er stadig lidt i tvivl om fremgangsmåden... 

Skal jeg løse ligningssystemet? - Og skal jeg ikke bruge determinanten? 

Beklager de mange spørgsmål. 

Hvad mener I med, at der ikke er en entydig løsning? 

Fra #4:

Hvis t ≠ 1/2, er løsningsmængden linien med parameterfremstillingen (x,y,z) = s·(-1 ; 0 ; 1) , s ∈ R .

Dvs for hvilket som helst valg af s∈R, så er s·(-1 ; 0 ; 1) en løsning. Så i princippet er der uendeligt mange løsninger.

Hvis der fandtes en entydig løsning, så ville løsningen ikke afhænge af den frie parameter s.

Okay tak :-)

Så det er forkert at sige, at for t ≠ 1 og t ≠ 1/2 har det homogene ligningssystem den entydige løsning x = 0? 

#8

Ja, det er forkert. Det er i øvrigt kun t = 1/2 , der skiller sig ud fra de øvrige t-værdier.

Okay, tak. Men nu skal jeg lige være sikker på, at jeg så har forstået det rigtigt.

Jeg går ud fra, at I har fundet frem til de 1/2 gennem determinanten. Da det(A) = 0 ved henholdsvis t = 1 og t = 1/2, vil det altså sige, at løsningen er ≠0 for alle t-værdier som ikke er 1 eller 1/2? Er det ikke også det I mener med, at der er uendeligt mange løsninger?