Taylor polynomer

Jeg læser en eksempel til dette emne;

Finn Taylor-polynomerne til f(x) = sin(x) om punktet 0.

Deriverer vi f(x) = sin(x), får vi

f'(x) = cos(x)   ,   f''(x) = -sin(x)   ,   f'''(x) = -cos(x)   ,   f''''(x) = sin(x)

Vi er nå tilbake til utgangspunktet, og derivasjonerne begynner å gjenta seg selv. Setter vi inn x = 0, ser vi at

f(0) = 0   ,   f'(0) = 1   ,   f''(0) = 0   ,   f'''(0) = -1

og dette mønsteret vil gjenta seg nedover - annenhver derivert er null, og de andre veksler mellem 1 og -1. Begynnelsen af Taylor-polunomerne ser derfor slik ut:

T_nsin(x) = 0 + x + (0/2!)x² - (1/3!)x³ + (0/4!)x⁴ + (1/5!)x⁵ .... = x - (1/3!)x³ + (1/5!)x⁵ + ...

Hvordan Taylor-polynomerne ender, avhenger av om n er like eller odde. Siden det 2n-te leddet i Taylor-polynomet T_2nsin(x) er lik null, må T_2nsin(x) = T_2n-1sin(x). Vi nøyer oss derfor med å skrive opp de like Taylor-polunomerne

T_2nsin(x) = x - (1/3!)x³ + (1/5!)x⁵ + ... + ((-1)ⁿ⁺¹x^2n-1)/((n2-1)!) =     

Jeg forstår ikke sætningen;

"Siden det 2n-te leddet i Taylor-polynomet T_2nsin(x) er lik null, må T_2nsin(x) = T_2n-1sin(x)." Hvad betyder det? Og hvor kommer dette, "-1", ellers fra i udtrykket; ((-1)ⁿ⁺¹x^2n-1)/((n2-1)!)?