Stamfunktion

lav først substidution med u=-2x ,du=-2dx og så kan du bruge partiel integration.

Man benytter partiel integration til at køre polynomiet ned til en konstant.

#1

∫x·e^-2x dx = (1/2)x ∫e^u du = (1/2)x·(e^u + K)?

#3 nej ikke helt.

∫x·e^-2x dx =∫ (1/4)e^uudu=... brug så partiel integration.

#3

Nej, ikke sådan. Benyt partiel integration:

∫ x·e^-2x dx = -(1/2)·x·e^-2x - ∫ (-1/2)·e^-2x dx =  -(1/2)·x·e^-2x -(1/2)·(1/2)·e^-2x + k

                   =  -(1/2)·x·e^-2x - (1/4)·e^-2x + k

Vedhæftet

Hvis jeg prøver at benytte #4

ser den lidt tricky ud. Jeg har prøvet at gøre det i to forskellige retninger, hvor jeg gjorde sådan (1. retning):

F(x) = (1/4)∫m·e^m dm =(1/4) [(m²/2)·em - (∫(m²/2)·e^m dm)]

                                                                ... og så fortsætter det.

Men, hvis jeg prøver at gøre det på den anden måde (2. retning) -

F(x) = (1/4)∫e^m·m dm = (1/4) [e^m·m - (∫e^m dm)]

                                                          ... nu er det blevet meget nemmere.

Det kan ses i min vedhæftet fil. (Jeg håber, jeg har lavet det rigtigt - har lige overset, at der er fortegnsfejl i integrationskonstanten i midten af noget)

By the way, hvorfor findes der to forskellige retninger, hvor den første er svære end den anden? Jeg kan mærke, at den anden retning er som en genvej til resultaten. Altså, er man træt af at regne ud i den første retning, kan man "snyde" ved at bytte om på noget.

#7 det er korrekt

integration er meget sværere end differentielregning, da der skal man bare kunne sine formler.

når man skal integrere skal man have en ide, og det er derfor det kan snyde. grunden til at integration er sværere er også der er mange funktioner som slet ikke har noget explicit integral.

#7

Det drejer sig om at finde stamfunktion til en funktion af formen f(x) = p(x)·e^ax , hvor p(x) er et polynomium. Man benytter, at man kender en stamfunktion til e^ax , nemlig (1/a)·e^ax , så hvis man benytter partiel integration på formen

∫ p(x)·g(x) dx = p(x)·G(x) - ∫ p'(x)·G(x) dx

hvor G(x) er en stamfunktion til g(x), og hvor p(x) er et polynomium, opnår man, at p'(x) er et polynomium af lavere grad end p(x). I et endeligt antal skridt vil man derfor komme af med polynomiumsfaktoren til e^ax og det sidste integral vil have et led af formen ∫ e^ax dx .

Hvis man i stedet går den anden vej med at integrere polynomiet p(x) og differentiere e^ax, får man et integral med et polynomium af en højere grad som faktor til e^ax , dvs. man gør det kun mere kompliceret. I integraler af denne type gælder det derfor om at differentiere polynomiet ned til en konstant, mens eksponentialfunktionen ved fortsat integration kun giver den konstante faktor (1/a).

Hvad med det her (måske 3. retning? :P)

∫x·e^-2x dx = -2e^-2x·x - (∫-2e^-2x dx) = ... ?

#10

Du kan se den korrekte fremgangsmåde i #5. Hint: ∫ e^-2x dx = -(1/2)·e^-2x , ikke -2·e^-2x .

#10 ∫x·e^-2x dx ≠ -2e^-2x·x - (∫e^-2x dx)

Ok. Tak for hjælpen allesammen. Det meget venligt af jer.