Matematik
Zenons paradoks
Achilleus og en skildpadde skal løbe om kap - da Achilleus er hurtigløber, får skildpadden et forspring.
De starter til tiden t0, skildpadden lidt foran Achilleus. Påstanden er nu, at Achilleus aldrig vil kunne indhente skildpadden. Når Achilleus kommer det sted hen, hvor skildpadden startede, har skildpadden bevæget sig et stykke og er altså længere fremme. Når Achilleus når hen til dét sted, har skildpadden igen bevæget sig et stykke.
Opgaven er som følger (og er markeret med fed):
I skal vise, at Achilleus indhenter og overhaler skildpadden.
Her nogle informationer, som vi ikke har: Hvor hurtigt løber Achilleus? Og skildpadden?
Vi modellerer lidt på situationen. Vi antager,
- at Achilleus kan løbe 100 m/min.
- at skildpadden kan løbe 1 m/min.
- at der til starten er 990 m mellem dem.
Fortsæt med at skrive og tegne, hvor langt de hver især kommer til tiden t1, t2, t3, t4 ...
Achilleus' afstand til tiden tn kan beskrives ved
100n
hvor n er tiden angivet i min.
Skildpaddens afstand til tiden tn kan beskrives ved
100n+k
, hvor n er tiden angivet i min., og hvor k = 990 m.
Er dette rigtigt ????????
Skriv den samlede sum af de længder, som Achilleus løber.
Her ved jeg så ikke, hvad jeg skal gøre - kan jeg få et hint eller to ?????
Svar #1
11. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
Nej, det er ikke rigtigt. Du har antaget, at Achilleus og skildpadden bevæger sig med samme hastighed, og det er jo ikke tilfældet. Benyt, at den i tiden t tilbagelagte afstand s er givet ved
s = v · t ,
hvor v er hastigheden.
Svar #3
12. oktober 2012 af Unglaublich (Slettet)
Men hvordan opskriver man så den samlede sum af de længder, som Achilleus løber ?????
Svar #4
12. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#3
Lad Achilleus løbe med den konstante hastighed va = 100m/min og lad skildpadden løbe med den konstante hastighed vs = 1m/min . Lad Achilleus starte i positionen sa0 = 0m og lad skildpadden starte i positionen ss0 = k . De starter her til tiden t = t0. Til tiden t = t1 er Achilleus nået til skildpaddens startsted, dvs
t1 = t0 + ss0/va
men til dette tidspunkt er skildpadden så nået til positionen
ss1 = ss0 + (t1 - t0)·vs .
Til tiden t2 er Achilleus nået til skildpaddens position ss1 , dvs
t2 = t1 + (ss1 - ss0)/va
Vi ser med andre ord, at
ssn - ss(n-1) = (tn - tn-1)·vs , og
tn+1 - tn = (ssn - ss(n-1))/va = (tn - tn-1)·vs/va , eller
Δtn+1 = Δtn·vs/va
Heraf ses, at
Δtn = c·(vs/va)n-1 , n ≥ 1.
Den samlede løbetid er nu
t = t0 + ∑∞n=1 Δtn = t0 + c·∑∞n=0 (vs/va)n ,
der ses at være en konvergent kvotientrække i (vs/va) , da |vs/va| < 1 .
Skriv et svar til: Zenons paradoks
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.