Implicit function theorem - "hjælp"

Den givne formel kan benyttes, når den implicitte funktion er defineret ved et udtryk af formen

F(x,y) = 0 .

Derfor er det formen

sin(x) + cos(y) - sin(x)·cos(y) = 0

der skal benyttes, hvor her

F(x,y) = sin(x) + cos(y) - sin(x)·cos(y)

Beregn så ∂F/∂x og ∂F/∂y .

Yes, det har jeg nogenlunde forstået. 

∂F/∂x = cos(y) - sin(x) · cos(y)

Kan du give et hint til ∂F/∂y - er lidt i tvivl om, hvordan man skal bære sig ad. 

#2

Det er ikke korrekt differentieret. Man finder ∂F/∂x ved at betragte x som den variable og betragte y som en konstant og så differentiere med hensyn til x:

∂F/∂x = cos(x) - cos(x)·cos(y) .

Prøv nu selv at beregne ∂F/∂y .

Min fejl. 

∂F/∂y = -sin(y)-sin(x) · (-sin(y))

Korrekt? 

#4

Ja, det er korrekt.

Hm.

Så...: dx/dy = - ((∂F/∂x)/(∂F/∂y)) = -((cos(x) - cos(x)·cos(y))/(-sin(y)-sin(x) · (-sin(y)))) = F_x/F_y

Det skal vel forkortes lidt før det kan afleveres med god samvittighed? :s 

#6

Det er dy/dx man finder ved det udtryk .

Hvis man benytter den oprindelige ligning

sin(x) + cos(y) = sin(x)·cos(y) ,

har man

cos(x) -sin(y)·dy/dx = cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)·dy/dx ,

hvoraf

sin(y)·(1 - sin(x))·dy/dx = cos(x)·(1 - cos(y)) , så at

(sin(y)/(1 - cos(y))) · dy/dx = cos(x)/(1 - sin(x))

Herved har man opnået en differentialligning, som den implicit givne funktion skal opfylde.

Men i opgaveformulering står der bare, at man skal finde dy/dx - er det så nødvendigt at fortsætte, som du har gjort i #6 ? 

#8

Nej, så er udtrykket for dy/dx vel tilstrækkeligt.

#9 

Det satser jeg på - ellers må det blive en genaflevering. 

Tak for hjælpen og godnat.