Matematik

Substitution

16. september 2005 af BaggerTheMan (Slettet)

Jeg søger noget hjælp med et integrale, det skal substitueres, men jeg kan ikke finde ud af det, der skulle være noget skjult ved integralet!

Over integraletegnet står der (pi/3) og under står der 0, funktionen hedder tan(x)dx

Ville blive meget glad for noget hjælp til denne, da jeg er helt på bare bund!

PÅ forhånd tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

Vink: per definition er

tan(x) = sin(x)/cos(x)

Vælg ud fra dette en passende substitution.

Her på forummet skrives bestemte integraler på denne form

b
S[f(x)]dx
a

I analogi hermed skrives ubestemte integraler på tilsvarende vis, blot uden grænser (a,b). Vær i øvrigt opmærksom på, at 'tan(x)dx' ikke er en funktion; 'dx' er en infinitesimal (uendeligt lille) tilvækst i x. Du mener i stedet, at integranden (funktionen mellem integraltegnet og dx) er tan(x).

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. september 2005 af Duffy

OK - jeg "hjælper" dig!

Husk på at tangens er defineret som sin(x)/cos(x) , cos(x) <> 0.

Så er

pi/3
S(tan(x))dx =
0

pi/3
S(sin(x)/cos(x))dx
0

vha substitutionen

t = cos(x)

er

dt/dx = -sin(x)

dvs

dt = -sin(x)dx , -dt = sin(x)dx

så vi kan nu erstate (substituere) sin(x)dx
med -dt

og lad os da også få t-grænserne med :

x = pi/3 gir t = cos(pi/3) = 1/2

x = 0 gir t = cos(0) = 1

1/2
-S(1/t)dt =
1

1/2
[-ln|t|] =
1

-ln(1/2) - (-ln(1)) = -ln(1/2) = ln2

hvilket approximativt er lig med 0.6931

Duffy

Svar #3
17. september 2005 af BaggerTheMan (Slettet)

Forstår ikke det sidste du skriver under definitionen af tan(x):
Husk på at tangens er defineret som sin(x)/cos(x) , cos(x) <> 0.

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Symbolet <> læses: 'forskellig fra'.

Det er vistnok programmeringssprog; problemet er ganske enkelt, at forummet ikke tillader brug af det velkendte matematiske symbol, så vi må indtil videre ty til alternativer.

Men ellers er du med på substitutionen?

//Epsilon

Svar #5
19. september 2005 af BaggerTheMan (Slettet)

Tænkte lige på en sidste ting, hvorfor er det at integralet lige pludselig bliver negativt?!

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. september 2005 af fixer (Slettet)

Okay, her var jeg lige ved at stige af. For værdien af det bestemte integral er ln(2) som bestemt er positiv. Så hvad kan der mon menes...

Et vildt gæt er at du mener udtrykket:

1/2
-S(1/t)dt =
1

i indlæg #2. Eller rettere minustegnet heri. Det skyldes jo blot det minustegn der fremkommer ved differentiation af substituenten t=cos(x) som angivet udførligt i indlægget.

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2005 af Duffy

Tjaeeh

der hvor der står

-dt = sin(x)dx

betyder jo at jeg kan skrive

-dt

istedet for

sin(x)dx

i

pi/3
S(sin(x)/cos(x))dx =
0

Nu bliver det spændende
Prøv at følge firkant-parentesen [] !

pi/3
S(sin(x)/cos(x))dx =
0

pi/3
S1/cos(x)sin(x)dx =
0

pi/3
S1/cos(x)[sin(x)dx] =
0

t=1/2
S(1/t)[-dt] =
t=1

1/2
S(1/t)[-1*dt] =
1

1/2
S(1/t)[-1]*dt =
1

1/2
[-1]*S(1/t)dt =
1

1/2
-S(1/t)dt =
1

1
S(1/t)dt =
1/2

HOVSA, hvad var det? Minusset forsvandt! (Hvorfor mon det?)

1
S(1/t)dt =
1/2

1
[lnt] =
1/2

ln1 - ln(1/2) =

0 - ln(1/2) =

-ln(1/2) =

ln(1/2)^(-1) =

ln(1/(1/2)) =

ln2

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Hmm...er det indlæg ikke nærmest overkill, Duffy? ;-)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. september 2005 af Duffy

Fuldstændig he-he ;-)

Duffy

Skriv et svar til: Substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.