differentialligning??

Det er en såkaldt logistisk differentialligning. Du kan blot slå løsningsformlen op i din formelsamling; medmindre selvfølgelig, at du vil integrere dig frem til løsningen. Sidstnævnte kræver dog en smule matematisk akrobatik. Bemærk, at der i løsningsformlen indgår en konstant, hvis værdi du ikke får oplyst i opgaveteksten.

Benyt det oplyste punkt (0,8) til at fastlægge denne konstant.

//Epsilon

Vi har

dM/(aM(b-M)) - dt = 0

hvor a = 5*10^-4 og b=160

Integration giver nu:

S[dM/(aM(b-M))] - S[dt] = C, C reel konstant (1).

Opgaven består nu mestendels i at få integreret første led. For at få has på den kan vi se om brøken ikke skulle kunne skrives som en sum af simplere brøker

(1/a)/(M(b-M)) = k1/M + k2/(b-M)

hvor k1, k2 er to reelle konstanter der skal bestemme.

Overvej, at få at denne ligning kan være opfyldt, må der gælde

k1 = 1/(ab) og k2-k1 = 0

og bestem heraf k2.

Når du har gjort det, udnyt da at

S[k1/M]dM = k1*ln(M) + C1
S[k2/(b-M)]dM = -k2*ln(b-M) + C2

hvor C1, C2 er reelle integrationskonstanter. Dem kan du bare flytte over på den anden side i ligning (1) og indlemme i C.

Du skulle så gerne få

t+C = (1/ab)*ln(M/(b-M))

Find herudfra M som funktion af t, og løs ligningen M(0) = 8 for endeligt at fastlægge konstanten C.

Afslut med at gøre prøve.

Håber nogle kan hjælpe! - Det drejer sig om opg. 265 i mat 3H.

Jeg kender ikke funktionsudtrykket, men ved at der er nulpunkt i 0 og -2, og at arealet under x-aksen(hvor -2 og 0 er grænserne) er 13.
- Hvordan kan jeg så løse S(f(x))dx(øvre grad = 0, nedre grad = -2)?

Håber en eller anden kan hjælpe?!

UPS!