Homogent lineært ligningssystem

Jeg formoder, at der er tale om matricen

hvor a ∈ R . Det homogene ligningssystem er da

                                   A x = 0

Beregn det(A) .

Med a = -1 ser det homogene ligningssystem da således ud:

Det ses, at Lign 1 og Lign 3 er ækvivalente, hvorfor ligningssystemet kollapser til systemet

Løsningsmængden findes altså som skæringen mellem to planer, dvs den rette linie i planen x₁ = 0 med ligningen x₃ = x₂ .

Jeg er blevet stillet samme opgave, og vil lige bemærke, at de første a i matricen har negativt fortegn, hvilket, hvis jeg ikke tager fejl, resulterer i at alle tre ligninger er ækvivalente for a = -1.

Til gengæld kunne jeg godt bruge hjælp/hint til b)-delen af opgaven: Bestem for enhver værdi af a rangen af A. 
Jeg ved, at rangen er 1, hvis a = -1.

Jeg har udført Gauss-Jordan-elimination på matricen uden en værdi for a indsat, og får da en trappematrice af rang 3. Og der er nok noget jeg mangler at indse, siden jeg stiller dette spørgsmål, men hvordan ved jeg, at der ikke er andre "specialtilfælde", altså andre værdier for a, hvor rangen ikke bliver 3? 

Handler den her opgave ikke i det store hele om at vise at for hvilke værdier af a at 

hvor   at disse vektorer, så skal opfylde  og være lineær afhængige og det vil sige udspænde  ??

Undskyld, men jeg er slet ikke med på, hvad du mener med at vektorerne skal udspænde R³. Er R³ ikke et talsæt med tre elementer indenfor de relle tal? 

Du har matricen

For a≠-1 fås

og for a=-1 fås

Heraf ses at rangen af A er 1 for a=-1 og 3 for a≠-1.

Det er jeg med på. Jeg er bare i tvivl om, hvordan man kan se, at der ikke er andre værdier af a for hvilke rangen ikke bliver 3. Men det ser man måske bare under Gauss-Jordan-eliminationen? 

Ja, du viser jo netop at

for et vilkårligt reelt tal a≠-1

Ja, jeg tror jeg er med nu. Tak for hjælpen :) 

Er svaret til opgave a) så bare at der er 0 løsninger idet trap(T) er = http://i.imgur.com/VX3ZK.png

#12

Nej. I opgave a) betragter man ligningssystemet for a=-1 ,og i det tilfælde er der uendelig mange løsninger.

Du har fundet at løsningen for a≠-1 er x = (0,0,0)

Ah okay så i a) får man (se vedhæftet fil) som betyder at der er uendeligt mange løsninger.

og hvordan regner man de resterende opgaver ud?

b) Bestem for enhver værdi af a rangen af A (hvordan afhænger den af værdien af a?).

c) Bestem samtlige reelle løsninger for det lineære ligningssystem:

x1+x2-x3=0

-a*x1+x2-x3=0

-x1+a*x2+x3=0

d) For hvilke værdier af a har A en invers matrix? Find den inverse matrix for a = 2.

b) løst i #8

c) opskriv koefficientmatricen hørende til ligningssystemet. Virker den bekendt?

d) benyt at en kvadratisk matrix har en invers hvis og kun hvis den er regulær (har fuld rang)

okay så i opgave a) er svaret uendeligt mange løsninger i følge udregningen i den vedhæftede fil?

i b) synes jeg ikke det giver mening. Der bliver spurgt om hvordan A afhænger af a og er svaret så bare at rangen til a = -1 er 1 for A og rangen er 3 til a ≠ -1 eller hvordan?

i c) har jeg brugt ReducedRowEchelonForm(A) og får samme svar som i b) altså hvor a er ukendt. og rangen her må da være 3 igen.

opgave d) kan jeg ikke forstå en dyt af :(

a) Ja, og løsningsmængden er givet ved

b) Ja

c) Ligningssystemets koefficientenmatrix er A. Løsningen for a=-1 blev fundet i opgave a) og løsningen for a≠-1 kan ses ud fra b).

d) A har en invers når A har fuld rang (når rk(A)=3). Se opgave b).  

Så svaret i b) og c) er det samme og spørgsmålet er bare formuleret anerledes?

d) og dette betyder at når a ≠ -1 har A en invers? i så fald får jeg inversen med a=2 til at være (se vedhæftet fil)

Mangler stadig et svar her, hvis nogen vil hjælpe mig :)