Potensrække

kvotientkriteriet / forholdstesten siger at hvis grænsen

a=lim_n->∞ (a_n+1/a_n) eksistere

så konvergere rækken for a<1

og divergere for a>1

og giver ikke noget svar for a=1

så konvergens radius for din række er så |x|<1 du skal så tjekke hvad der sker når x=1 og x=-1 hver for sig.

(så fx hvis den gik mod |x|/3 så var konvergens radius |x|/3<1 ⇔|x|<3)

men jeg er ikke helt med hvorfor den er |x|<1. er konvergensradiusen ikke én bestemt værdi? sådan som vi har fået det forklaret så har læreren tegnet en cirkel og sagt at værdier indenfor cirklen er konvergent og udenfor er divergent og lige præcis på cirklens grænser har vi konvergensradiusen ?

er du ikke sød at uddybe det lidt

#2 er konvergensradiusen ikke én bestemt værdi? jo her ρ=1 ( var nok ikke helt klart nok i mit andet svar)

hvilke kriterier kan jeg bruge til at vise divergens? jeg har forsøgt med n'te ledskriteriet, men det kan jeg ikke fordi den går imod 0.

#4

b) du kan sammenligne med en anden række som du ved divagere.

bemærk at 1/(n+1) ≤ 1/√(n+1)  for n≤0 

#5 n≥0 beklager

er rækken 1/(n+1) divergent?

#7 ja det er den men det skal du så vise ved at sammenligne med en række som du ved divagere.

Altså  jeg skal vise at 1/√(n+1) er divergent ved at sammenligne med 1/(n+1). og da 1/(n+1). er mindre end 1/√(n+1) og vi ved at 1/(n+1 er divergent så må  1/√(n+1) også være divergent  

#9 ja det er tanken. du bør nok vise at ∑_n=^∞ (1/n+1) divergent eller henvise til noget i din bog som siger den er.

kan jeg i c sammenligne med rækken 1/(n+1)^2 som er konvergent?

#11

c) er en alternerende række (slå det op i din bog) som er nem vise om den er konvergent eller divergent.

jeg viser at vi har positive led "b[n] ,  som aftager monotont, og som konvergerer mod 0 `når`    n->∞"
Dermed må rækken være konvergent for x=-ρ
                             

JEg kan ikke få maple til at udregne solve(-1^n/sqrt(n+1)=0.1,n). Har du en ide til hvad problemet kan være?

Potensrækken er

∑^∞_n=0 xⁿ/√(n+1)

Koefficienterne i rækken er a_n = 1/√(n+1) . For alle n ≥ 0 gælder der, at a_n ≠ 0 , og der gælder, at talfølgen

|a_n+1/a_n| = √((n+2)/(n+1))

er konvergent med grænseværdien c = 1 . Derfor har potensrækken konvergensradius ρ = 1/c = 1 .

b) For x = ρ = 1, er der tale om rækken

∑^∞_n=0 1/√(n+1) = ∑^∞_n=1 1/√n

For afsnitsfølgen s_n gælder der

s_n = ∑ⁿj₌₁ 1/√j ≥ ∑ⁿj₌₁ 1/j ,

der er divergent.

c) For x = -ρ = -1 er der tale om rækken

∑^∞_n=0 (-1)ⁿ/√(n+1) ,

der er konvergent, fordi 1/√(n+1) er en dalende følge med grænseværdi 0.

d) Hvis s er rækkens sum i c) og s_n er det n'te afsnit, gælder der, at

|s - s_n| ≤ 1/√(n+2) .

Hvis man skal beregne s med en fejl på højst 0,1, skal man altså vælge n så at

1/√(n+2) ≤ 0,1 , dvs

n+2 ≥ 100 , eller n ≥ 98

Nogen der kan uddybe i spg. d, svar #15, hvorfor man kan skrive 

om til

Yes, er godt klar over x=-1. Men kan ikke se hvorfor man kan skrive