randpunkt

Et randpunkt relaterer til en mængde; et stationært punkt relaterer til en funktion. En funktion skal være differentiabel (set i relation til sin definitionsmængde) i et stationært punkt, så et punkt kan kun være et stationært punkt for et differentiabel funktion, hvis det ligger i det indre af funktionens definitionsmængde, Derfor kan et stationært punkt for en funktion ikke ligge på randen af funktionens definitionsmængde.

Hvad gør man så når man vil finde ekstremum for en funktion og finder at det kritiske punkt ligger på randen?

#2

Man foretager altid en særskilt undersøgelse af punkterne på randen.

 Vil det sige at hvis jeg finder et punkt(0,0) er ligger på min rand så undersøger jeg hvilke x- værdier på randen der har min og max i forhold til en evt mængde og dens "forskrift"? og for det første punkt(0,0) finder jeg funktionensværdier i henholdsvis x=0 og y=0

#4

Jeg forstår overhovedet ikke, hvad du skriver der. Prøv at formulere det på dansk.

Punkter i det indre af definitionsmængden, hvor der er lokalt ekstremum, bestemmes ved at finde de stationære punkter. Funktionens opførsel på definitionsmængdens rand undersøges særskilt, hvis randen er indeholdt i definitionsmængden.

Jeg har en funktion f(x,y)=4xy^2-x^2 som er indeholdt i mængden D={(x,y)|x^2+y^2≤1,x≥0}.Jeg skal argumentere for at funktionen har mindst et maximum og mindst et minimum på D.

gradienten=o giver x=0 og y=0

Så kigger jeg på min mængde D og finder at y=√(1-x^2) som jeg indsætter i f(x,y) således at jeg nu har en funktion af en variabel.

f(x)=0 giver (1/2,-√3/2) samt (1/2 ,√3/2)

Hvis jeg indsætter disse værdier i f(x,y)=1,48205

men hvad med mit oprindelige punkt når jeg fandt gradienten?

skal jeg også løse:

f(o,y)=0 altså f er en konstant når x=0

f(x,0)=-x^2

samt

f(0,0)=0

og hvilke er mine minimumspunkter?

#6

Det er noget vrøvl at skrive, at funktionen er indeholdt i mængden D. Funktionen er defineret på mængden D, som er den afsluttede halvcirkelskive x²+y²≤1 , x≥0 . Funktionen

f(x) = 4xy² - x²

er kontinuert, og den er defineret på en begrænset, afsluttet mængde D, hvorfor den har et minimum og et maksimum. Da det stationære punkt for funktionen ligger på definitionsmængdens rand, skal man alene undersøge funktionens opførsel på randen af D, dvs på

1) liniestykket x = 0, -1≤y≤1 , og

2) halvcirklen x²+y² = 1, x≥0

På liniestykket 1) er funktionen konstant lig med 0.

På halvcirklen 2) er y² = 1-x² , hvorfor der her gælder

f(x,y) = g(x) = 4x·(1-x²) -x² , 0 ≤ x ≤ 1 .

Undersøg nu funktionen g(x) for minimum og maksimum på det afsluttede interval [0;1] .