Matematik

additionsfomler til tredobbeltvinkel

19. september 2005 af Finnt (Slettet)

Hej! Jeg skal benytte additionsformlerne til at bevise formler for tredobbeltvinkel:

1) sin3x = 3sinx - 4sin^(3)x
2) cos3x = 4cos^(3)x - 3cosx

idet der benyttes
sin3x = sin(2x + x)
cos3x = cos(2x + x)

Håber på lidt hjælp og guidning i denne opgave, for jeg kan slet ikke komme igang med den...tak : )

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2005 af iB (Slettet)

Start med at slå netop din additionsformel for sinus op, og brug den på sin(2x+x)...

Svar #2
19. september 2005 af Finnt (Slettet)

hm...jeg må gøre noget heelt forkert, for kommer ikke frem til det, jeg burde!

jeg siger at, sin 3x = sin(2x+x) = sin2x *cosx -cos2x *sinx = 2sinx *cos^(2)x - cos^(2)x-sin^(2)x *sinx = 2 sinx *cos^(2)x - cos^(2)x *sinx - sin^(3)x = 2 - sin^(3)x.....og dette er forkert...hjælp!!

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. september 2005 af iB (Slettet)

"jeg siger at, sin 3x = sin(2x+x) = sin2x *cosx -cos2x *sinx"

-Hvorfor minus?

Svar #4
19. september 2005 af Finnt (Slettet)

ups...tak...prøver lige at se hvor jeg ender...

Svar #5
19. september 2005 af Finnt (Slettet)

hm...så kommer jeg frem til at sin3x =4sinx *cos^(2)x + sin^(3)x....hvordan kommer jeg videre herfra??

Svar #6
19. september 2005 af Finnt (Slettet)

never mind - har løst den...tak for hjælpen!!

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2005 af iB (Slettet)

ehhhh, gidder du skrive løsningen her? (skulle lige være "klåge-åge" og regne den selv, men gik fandeme i stå, og nu er jeg skide sur over at jeg ikke kan få det til!!!)

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Men masse af "dejlige" detaljer, ser det første bevis således ud:

sin(3x)
= sin(2x + x)
= sin(2x)*cos(x) + cos(2x)*sin(x)
= [2*sin(x)*cos(x)]*cos(x) + [1 - 2*sin(x)^2]*sin(x)
= 2*sin(x)*cos(x)^2 + sin(x) - 2*sin(x)^3
= 2*sin(x)*[1 - sin(x)^2] - 2*sin(x)^3
= 2*sin(x) - 2*sin(x)^3 + sin(x) - 2*sin(x)^3
= 3*sin(x) - 4*sin(x)^3

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Uagtet, at jeg ganske vist ikke hedder Finnt, kommer her en udledning af formlerne for tredobbelt vinkel.

Vi skal vise de trigonometriske formler for tredobbelt vinkel:

(1) sin(3x) = 3sin(x) - 4sin(x)^3
(2) cos(3x) = 4cos(x)^3 - 3cosx

ud fra observationen, at 3x = 2x + x.

De trigonometriske additionsformler og den trigonometriske grundrelation udsiger, at

(3) sin(u+v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)
(4) cos(u+v) = cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)
(5) 1 = sin(x)^2 + cos(x)^2

ad (1)
Vi sætter u = 2x, v = x og får i henhold til (3) og (5), at

sin(3x) =
sin(2x + x) =
sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) =
2sin(x)cos(x)^2 + sin(x)[cos(x)^2 - sin(x)^2] =
sin(x)[3cos(x)^2 - sin(x)^2] =
sin(x)[3 - 4sin(x)^2] =
3sin(x) - 4sin(x)^3

hvilket viser (1). Tilsvarende følger det af (4) og (5), at

cos(3x) =
cos(2x + x) =
cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x) =
cos(x)[cos(x)^2 - sin(x)^2] - 2cos(x)sin(x)^2 =
cos(x)[cos(x)^2 - 3sin(x)^2] =
cos(x)[4cos(x)^2 - 3] =
4cos(x)^3 - 3cos(x)

hvilket skulle vises.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Ignorér " ad(1) ". Endvidere rettes sidste sætning til:

" hvilket viser (2) og dermed afslutter beviset. "

//Epsilon

Skriv et svar til: additionsfomler til tredobbeltvinkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.