Arealet imellem?

Find grænserne for arealberegning ved at løse ligningen

      f(x) = g(x)

med f(x) = √x og g(x) = x³ .

f(x)=g(x)
x^3=√x
(x^3)^2=√x^2
x^6=x

Hvordan kommer jeg videre herfra, hvis det altså er rigtig..

f(x) = g(x)
√x = x³
x = x⁶
x⁶ - x = 0
x(x⁵ - 1) = 0
x = 0    ∨    x⁵ - 1 = 0
x = 0    ∨    x⁵ = 1
x = 0    ∨   x = 1

f(0,5) = √0,5 ≈ 0,7071
g(0,5) = 0,5³ = 0,125

g > f i intervalet [0;1]

Arealet mellem graferne kan bestemmes som:

A = ∫₀¹(g(x)-f(x)) dx = ∫₀¹(g(x)-f(x)) dx = ∫₀¹(x³ - √x) dx = [ (2/3)·x^3/2 - (1/4)x⁴ ]₀¹ = ⁵/₁₂

#3

Det er ikke korrekt, at g > f i intervallet [0;1] . Der gælder tværtimod

g(x) ≤ f(x) for alle x i [0,1].

I din udregning til sidst sker der en pludselig (uautoriseret) ombytning af de to funktioner, måske fordi du fandt ud af, at det ikke ville ende med et positivt A , som det er stillet op. Det korrekte areal beregnes som

A = ₀∫¹ (f(x) - g(x)) dx = (2/3) - (1/4) = 5/12

#4 Ups, der har vist været en lidt for lemfældig omgang med funktionsnavne  :-)