Parameterfremstilling

Bestem en parameterfremstilling for den kurve, som snorens faste endepunkt gennemløber, når man vikler snoren af.

                          en jævn cirkelbevægelse

                                    ( r•cos(ω·t+φ_o )
                         OP_t  = (                       )
                                    ( r•sin(ω·t+φ_o) )

Centrum for cylinderen O = (0,0)

Punktet hvor snoren tangerer cirklen/slipper cylinderen P

Vinkel for OP = v   parameteren

Snorens ende Q

Cylinder radius r

OP, PQ og OQ er vektorer

OP = (r*cos(v),r*sin(v))

Da snoren tangerer cirkelen står PQ vinkelret på OP

|PQ|=r*v*π/180

PQ=([-r*v*π/180*sin(v)],[r*v*π/180*cos(v)])

OQ=OP+PQ

Så vidt jeg kan se, skal det beskrives i 3 dimensioner. Man må gå ud fra, at snoren har en endelig tykkelse d . Hvis cylinderen har en radius r og hvis snoren ellers er viklet tæt omkring cylinderen, må snorens røringspunkt kunne beskrives i 3 dimensioner ved en skruelinie (helix);

[x(t) , y(t) , z(t)] = [r·cos(ωt+φ₀) , r·sin(ωt+φ₀) , ωt·d/(2π) + z₀]

Snorens endepunkt befinder sig på tangenten i en afstand fra røringspunktet, der er proportional med tiden og lig med kurvelængden fra et fast punkt.

#3

Jeg har opfattet det som en cirkelafvikler, hvor radius i kurven bliver større og større jo mere snor der vikles af, ikke som en skruelinie/helix, der jo har samme radius hele tiden.

Jeg kan godt se at snorens ende må bevæge sig opad , hvilket jeg ikke har taget hensyn til.

Det må da resultere i en Archimedes Spiral, - ikke sandt ?

Arkimedes spiral starter i et punkt og har ikke en cirkel i midten, hvorfra kurven begynder.

se

http://books.google.dk/books?id=MOlejifnbI4C&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Cirkelafvikler&source=bl&ots=jK8Gp0p-vm&sig=V19Mba3WS9A2vuV4-zYVy_ai5Mk&hl=da&sa=X&ei=VvqvUNjRL8SJ4gShxoDwBQ&redir_esc=y#v=onepage&q=Cirkelafvikler&f=false

Før man begynder at vikle snoren af ligger snoren som en skruelinie eller helix uden om cylinderen. Mens man afvikler snoren, er den frie ende tangent til cylinderen, og tangenten kan afledes af parameterfremstillingen i #3.