Matematik
Opgave i sandsynlighed og statistik
Håber at få lidt hjælp:
Lad X være normalfordelt med middelværdi μ og varians σ2. Fordelingen af Y = exp(X) kaldes den logaritmiske normalfordeling med parametre (μ,σ2). Denne fordeling spiller en stor rolle i finansieringsteori, hvor afkast af et finansielt aktiv ofte modelleres med en logaritmisk normalfordeling.
Spørgsmål 1.1. Vis at fordelingen af Y har en tæthed givet ved f(y)=1/√2*pi*σ ?*(1/y)*exp−(logy−μ)^2/2σ^2 for y>0.
Spørgsmål 1.2. Vis at Y har middelværdi, og at EY = e^μ+σ^2/2
Vink: start med at se på den logaritmiske normalfordeling med parametre (0,1). Lidt afhængig af hvordan regningerne gennemføres, så kan det m °aske være relevant at observere at x^2 −2ax = (x−a)^2 −a^2 for alle x og a.
Spørgsmål 1.3. Vis at Y har varians, og at denne varians er
VY =(e^σ^2 −1)e^2μ+σ^2
Svar #1
11. december 2012 af nielsenHTX
HUSK nu de parenteser din f(y) er bestemt ikke log normalfordelingen, men
spr. 1.1
du skal bruge transformationssætningen for en endimensionel kontinuert fordeling.
med h(x)=nor-(μ,σ2)
bemærk at Y=exp(X) ⇔X=log(Y) for y>0 og dermed er Y '=1/x (variablerne bliver brugt lidt frit)
så du skal indsætte og udregne
f(y)=h(log(y))*|Y'| =h(log(y))*|1/x|=osv. (er næsten færdig)
1.2 prøv at bruge hintet, bemærk at |f(y)|=f(y) for y>0
1.3 ca det samme som 1.2.
Svar #3
11. december 2012 af DrJonas (Slettet)
beklager notationsfejlene de enkelte steder, men tak for hælpen..
Svar #4
12. december 2012 af DrJonas (Slettet)
Kan desværre ikke få middelværdien til at give det ønskede, tror jeg bruger hintet forkert
Svar #5
12. december 2012 af nielsenHTX
#4 er jo ikke til at sige når jeg ikke ved hvor du går i stå...
skriv hvad du er kommet frem til.
Svar #6
12. december 2012 af DrJonas (Slettet)
For at vise om middelværdien eksisterer bruger jeg definitionen hvor man tager integralet for - uendelig til +uendlig af numerisk x gange p(x).. Er det korrekt?
Svar #7
12. december 2012 af nielsenHTX
#6 ja du skal bestemme
-∞∫∞ x*p(x)dx men før du må regne det skal du sikre dig at -∞∫∞ x*|p(x)|dx<∞ kan dog laves nemt da |p(x)|=p(x) så E[|X|]=E[X].
indsæt resultatet fra 1.1 og brug hintet.
Svar #8
13. december 2012 af DrJonas (Slettet)
Jeg kommer frem til dette: exp(-(x^2- µ^2+2x(µ+ σ ^2))/(2* σ ^2)).. Hvordan kan jeg nu bruge hintet?
Svar #9
16. december 2012 af Walsh (Slettet)
Filen gider ikke at vises kan du ikke ligge den op som pdf eller word dokument ellers er den umulig at have med at gøre ?
Svar #10
18. december 2012 af nielsenHTX
#9 filen skulle gerne kunne ses nu
----------------
se evt https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1282290 for opg 1.2
Svar #11
20. december 2012 af DrJonas (Slettet)
Har nu bestemt middelværdien, men har lidt problemer med at vise at den har varians, har du et godt hint?
Svar #12
20. december 2012 af nielsenHTX
#11 samme som 1.2
beregn E[Y2]=E[e2X] gøres med samme sub og fremgangsmåde som 1.2.
og brug så at Var(Y)=E(Y2)-(E(Y))2
Skriv et svar til: Opgave i sandsynlighed og statistik
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.