Differentialligninger

Er det rigtigt, at :

En differentilligning på formen y'+g(x)y=h(x) kaldes en lineære differentiallligning af første orden. Hvis h(x)=0 kaldes ligningen for homogen ellers kaldes den inhomogen.

Det er ikke muligt at seperere de variable med mindre h(x)= 0, altså ligningen er homogen.

Modellen der fører til denne differentialligning er det paser formlen ?

                  ...differentialligningen løses ved brug af panserformlen

Det vil sige løsningsformlen til differentialligningen y'+g(x)y=h(x) er:

y=e^-G(x)·(∫e^G(x)·h(x)dx+c), som kaldes panserformlen.

Så er det vel også korrekt at sige, at denne formel er en model der fører til differentialligen på formen y'+g(x)y=h(x).

Eksamensspørgsmålet lyder:

Beskriv en model der fører til en differentialligning på formen y' + g(x)y = h(x) .

Bevis løsningsformlen for y'+g(x)y = h(x). Vis hvordan denne løsningsformel anvendes på differentialligningen

y' + ay = b.

Hvor er min fejl her:

y=e^-ax-k·∫e^ax+k·b dx <=>

y=e^-ax·e^-k·e^k·∫b·e^ax dx <=>

y=e^-ax·b·((1/a)·e^ax+c) <=>

y=((e^-ax·b·1)/a)·e^ax+e^-ax·b·c <=>

y=(b/a)+e^-ax·b·c

men det skal give y=(b/a)+ce^-ax

Jeg har et "b" for meget i min udregning!

                                y = e^-G(x)·(∫e^G(x)·h(x)dx+c)
fører til

                                e^G(x)·y = (∫e^G(x)·h(x)dx+c)        som ved differentiation med hensyn til x på begge sider
giver
                                g(x)•e^G(x)·y + e^G(x)·y ' = e^G(x)·h(x)   

                                g(x)·y + y ' = h(x)   

                                y ' + g(x)·y = h(x)          som er modellen

                               y ' + ay = b

                               y = e^-ax • (∫₀e^ax•bdx + C)

                               y = C•e^-ax + e^-ax • ∫₀e^ax•bdx

                               y = C•e^-ax + e^-ax • (b/a)•e^ax

                               y = C•e^-ax + (b/a)

∫₀....dx    betyder stamfunktionen med integrationskonstanten 0

Hvor er min fejl her:

y=e-ax-k·∫eax+k·b dx <=>

y=e-ax·e-k·ek·∫b·eax dx <=>

y=e-ax·b·((1/a)·eax+c) <=>

y=((e-ax·b·1)/a)·eax+e-ax·b·c <=>

y=(b/a)+e-ax·b·c

Vil du ikke prøve at fortæller, hvor jeg laver fejlen i min udregning, så jeg bedre kan forstå det ?

hvor kommer dit k fra?

Fra at G(x)=ax+k

og b=h(x), fordi jeg siger (x) er en konstant

                        y = e^-(ax+k)·(∫e^(ax+k)·b·dx + C₁) <=>

                        y = C₁e^-(ax+k) + e^-(ax+k)·∫b•e^(ax+k)dx

                        y = C₁e^-ax • e^-k + e^-(ax+k) • (b/a) • e^(ax+k)

                        y = (C₁• e^-k) • e^-ax  +  (b/a)

                        y = C • e^-ax  +  (b/a)                               hvor C = C₁• e^-k

hvorfor der ikke bliver "et k for meget"

altså jeg sidder med min lærebog, og prøver at forstå beviset, så jeg selv kan forklare det til eksamen.

I bogen står der:

Hvis funktionen h(x) er konstant, fx h(x)=b får differentialligningen udseendet:

y'+ay=b

og da G(x)=ax+k får vi løsningsformlen fra sætning 4 (y=e^-G(x)·∫e^G(x)·h(x)dx):

y=e^-ax-k·∫a^ax+k·b dx

=e^-ax·e^-k·e^k·∫be^axdx

=e^-ax·b·((1/a)·e^ax+c) - Det er her jeg ikke forstår hvordan bogen kommer videre, da jeg tror jeg ganger forkert ind i      parentessen 

Bogen får: y =(b/a)+c·e^-ax

Jeg får: y=(b/a)+e^-ax·b·c

Hvad er det jeg gør forkert?

y'(x) + g(x)·y(x)                = b

e^G(x)y'(x) + e^G(x)a·y(x)    = e^G(x)b

(e^G(x)y(x))'                      = e^G(x)b

e^G(x)y(x)                          = ∫(e^G(x)b) + C        dermed

y(x) = (∫(e^G(x)b) + C)/(e^G(x)) = e^-G(x)(∫(e^G(x)b) + C)

Skulle værdierne indsættes, er det allerede angivet i #12

        e^-ax·b·((1/a)·e^ax + c) =

        e^-ax • (b/a) • e^ax  +  e^-ax•c =

        (b/a) • e^-ax+ax + c•e^-ax =

        (b/a) • e⁰ + c•e^-ax =

        (b/a) • 1 + c•e^-ax =

        c•e^-ax + (b/a)

Dette forstår jeg godt, mit problem ligger i at komme fra: y=e^-ax·b·((1/a)·e^ax+c) og få det til at give y=(b/a)+c·e^-ai. Da jeg gerne vil følge bogens bevis. Ved ikke om mit spørgsmål er meget uklart?

Men når jeg vil regne det ud, gør jeg på følgende måde:

Jeg siger: e^-ax·b gange med første led (1/a)·e^ax og får: (e^-ax·b·1·e^ax)/a

så ganger jeg e^-ax·b med andet led c og får: e^-ax·b·c

dvs. jeg får: y=(b²·e^ax·c)/a.

Hvad er det jeg gør forkert ?

det skal være

                               fra: y = e^-ax·b·((1/a)·e^ax  +  c₁)

                                      y = e^-ax·((b/a)·e^ax  +  bc₁)

                                      y = e^-ax·((b/a)·e^ax  +  c)

                                      y = (b/a) + c•e^-ax

                                      y = c•e^-ax + (b/a)

nu tror jeg den er forstået, tak !

#17

det skal være

                               fra: y = e^-ax·b·((1/a)·e^ax  +  c₁)

                                      y = e^-ax·((b/a)·e^ax  +  bc₁)

                                      y = e^-ax·((b/a)·e^ax  +  c)

                                      y = (b/a) + c•e^-ax

                                      y = c•e^-ax + (b/a)

Hvordan bliver bc₁ til c?