Matematik
Side 2 - Et par opgaver om primtal
Svar #21
28. september 2005 af DMUS (Slettet)
jf. #1
2) F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 + "noget"
Her ses: (5^4 + 2^4)(2^7)^4 > F_5
Dog har jeg fundet et udtryk der stemmer overens med det 5. fermat tal.
2^4 * (2^7)^4 + 1 = F_5
Hva gør jeg videre, for at vise at det ikke er et primtal?
Svar #22
28. september 2005 af Epsilon (Slettet)
I første omgang ville det være smart at finde ud af, hvad "noget" dækker over. Dertil ser vi, som du netop bemærker, at
F_5 = (2^4)(2^7)^4 + 1
Sammenhold nu dette med
F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 + "noget"
og bestem, hvad "noget" er. Dernæst skal du vise, at der findes hele tal, r og s:
1
således, at F_n = rs, thi så er det vist, at F_n ikke er et primtal. Du skal naturligvis ikke søge på må og få efter r og s (det er håbløst), men i stedet udnytte de givne vink.
//Epsilon
Svar #23
28. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Ej, sådan noget fis jeg skriver. Om igen:
" Dernæst skal du vise, at der findes hele tal, r og s:
1
således, at F_5 = rs, thi så er det vist, at F_5 ikke er et primtal. "
//Epsilon
Svar #24
28. september 2005 af DMUS (Slettet)
Forigen at kunne splitte stykket ad i to faktore?
Svar #25
29. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Du har nu sikkert fundet ud af, at
F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 - (5^4)(2^7)^4 + 1
Herfra gælder det om, ganske vist ad lidt snedig vej, at skrive højresiden som en ikke-triviel faktorisering af F_5, dvs.
F_5 = rs
for 1
//Epsilon
Svar #26
30. september 2005 af DMUS (Slettet)
Ja, jeg fandt rigtig nok som du sagde ud af at.
F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 - (5^4)(2^7)^4 + 1
Og for at bevise det ikke et et primtal, kan jeg omrskrive højresiden.
så F_5 = rs
Da: 5^4 + 2^4 = 5(2^7) + 1
Må
F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 - ((5^4 + 2^4)^4 - 3)
Det følger her af at utrykket kan divideres med (5^4 + 2^4).
F_5 = ((2^7)^4 - (5^4 + 2^4)^3 - 2)* (5^4 + 2^4)
<=>
F_5 = 6700417*641
og F_5 = r*s, og derfor ikke et primtal?..
Svar #27
30. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det sidste er korrekt, men der er knas flere steder undervejs. Ræsonnementet herfra er galt:
" Da: 5^4 + 2^4 = 5(2^7) + 1
Må
F_5 = (5^4 + 2^4)(2^7)^4 - ((5^4 + 2^4)^4 - 3) "
Det gælder jo ikke, at
((5^4 + 2^4)^4 - 3) = ((5^4)(2^7)^4 - 1)
hvilket du faktisk bruger. Man kan heller ikke slutte, som du gør, at
5^4 + 2^4
dividerer
(5^4 + 2^4)(2^7)^4 - ((5^4 + 2^4)^4 - 3)
Tallet går jo specielt ikke op i leddet -3. Derimod gælder, at
(5^4)(2^7)^4 = (5^4 + 2^4 - 1)^4,
men det fører ikke umiddelbart nogen vegne, hvis man indsætter dette. Prøv derimod at benytte vinket:
5^4 + 2^4 = 5(2^7) + 1
"omvendt", ergo
F_5 =
(5(2^7) + 1)(2^7)^4 - (5^4)(2^7)^4 + 1 =
(5(2^7) + 1)(2^7)^4 - ((5^4)(2^7)^4 - 1)
Bemærk de to indskudte parenteser, som resulterer i et fortegnsskift på 1-tallet; denne simple idé er nøglen til at løse faktoriseringsproblemet.
Vink: brug nu én af kvadratsætningerne:
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
et passende sted.
//Epsilon
Svar #28
30. september 2005 af DMUS (Slettet)
Ja, ku godt se den var gal, men var jo nødt til at fremprovokere nogle flere vink :P
Tager på studietur idag, så får nok ikke mere tid til at se på det..
Generelt håber jeg du smider et løsningsforslag op til alle opgaver, så man ka lære lidt når man kommer tilbage...
Virkelig sjovt at sidde og læse, du kommer ikke forbi falster som kusulent for lidt mere spændende undervisning..? ;)
Svar #29
30. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Tjo, måske. Men der er jo ikke meget sjov ved at få det hele serveret på et sølvfad fra starten af. ;-)
Nuvel, vi har vist trådt vande tilstrækkelig længe, hvad angår 2b).
LØSNINGSFORSLAG
Benyttes de to givne vink, har vi
F_5 =
(5^4 + 2^4)(2^7)^4 - (5^4)(2^7)^4 + 1 =
(5(2^7) + 1)(2^7)^4 - (5^4)(2^7)^4 + 1 =
(5(2^7) + 1)(2^7)^4 - ((5^4)(2^7)^4 - 1)
Nu udsiger en af kvadratsætningerne som bekendt, at
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) (*)
Denne bruger vi repetitivt på
(5^4)(2^7)^4 - 1,
hvorved
(5^4)(2^7)^4 - 1 =
((5^2)(2^7)^2 - 1)((5^2)(2^7)^2 + 1) =
(5(2^7) + 1)(5(2^7) - 1)((5^2)(2^7)^2 + 1)
Bemærk, at faktoren '5(2^7) + 1' optræder. Heraf ser vi, at F_5 har en ikke-triviel faktorisering,
F_5 =
(5(2^7) + 1)[(2^7)^4 - (5(2^7) - 1)((5^2)(2^7)^2 + 1)] =
641*6700417
og altså er F_5 ikke et primtal.
Nej, jeg kommer højst sandsynligt ikke forbi Falster som konsulent i matematik. Det kunne du nok ellers lige tænke dig, hva'? ;-)
//Epsilon
Skriv et svar til: Et par opgaver om primtal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.