Vektorrum - trigonometrisk

Hvis nogen af jer ikke kan se det vedhæftede billede, klik her eller se herunder:

Man skal først og fremmest benytte definitionen for et vektorrum.

Trig₁(R) består af alle funktioner af formen

f(x) = a₀ + a₁·cos(x) + b₁·sin(x) , a₀, a₁, b₁ ∈ R .

(a) Det er vel klart, at enhver linearkombination med reelle koefficienter af funktioner af denne type igen er en funktion af denne type. Enhver sådan funktion kan fås som en linearkombination af de tre funktioner 1, cos(x) og sin(x) . Vis at sættet bestående af disse tre funktioner er lineært uafhængigt.

Trig₂(R) består af alle funktioner af formen

f(x) = a₀ + a₁·cos(x) + a₂·cos(2x) + b₁·sin(x) + b₂·sin(2x) , a₀, a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ R

og det er vel også klart, at enhver linearkombination med reelle koefficienter af funktioner af denne type igen er en funktion af denne type.

(c) Man har   cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2·cos²(x) - 1 , så cos²(x) = (1/2) + (1/2)·cos(2x) , hvilket viser, at cos²(x) ∈ Trig₂(R)

#2

Er det den her definition, jeg skal bruge? Jeg må ærligt talt indrømme, at jeg ikke har en stærk fatteevne nok til at svare på nogle af de opgaver, selv hvis jeg brugte flere timer på at forstå teorier i bøger og på nettet især YouTube.

Hver gang, jeg læser ord "vis", tror jeg, at jeg skal argumentere matematisk. Jeg vil prøve starte helt forfra, og vil godt vide hvordan det så skal vises, at det er et reelt vektorrum, og hvordan jeg så skal finde basis for Trig₁(R), når jeg ikke kender nogle af de "span" af vektorer? Jeg takker virkelig for din tålmodighed.

#3

Ja, det er definitionen for et vektorrum. Man efterviser at et forelagt rum er et vektorrum ved at vise, at det opfylder alle regnereglerne og betingelserne givet i definitionen.

#4

Skal jeg bare sige, at det gælder for V1, så fx

v = a₀, w = ∑(a_ncos(nx)), z = ∑(b_ncos(nx)) , så

f(x) = (v + w) + z = v + (w + z), og det er opfyldt, at det er et reelt vektorrum?

Angående basis, må jeg nok anse denne vektor for en dimension, at

A[(a₀, a₁, b₁)] = (1, cos(x), sin(x)). Det må så være, en lineær afhængighed, idet de er forskelligt fra 0. 

Til bestemmelse af dimensionen, kan jeg jo ikke afgøre det, fordi det allerede er vist, at det er en dimension. Har jeg forstået det korrekt?

#5

Læs #2 igen.

Trig₁(R) består af alle funktioner af formen

f(x) = a₀ + a₁·cos(x) + b₁·sin(x) , a₀, a₁, b₁ ∈ R .

Man skal så betragte linearkombinationer af vektorer (funktioner) af denne form, og det er vel klart, at enhver linearkombination af sådanne funktioner igen er en funktion i Trig₁(R) . Betingelserne V1 - V8 er således trivielt opfyldt, så Trig₁(R) er et vektorrum.

Det er også klart fra definitionen af Trig₁(R), at en hver vektor i Trig₁(R) kan skrives som en linearkombination af de tre funktioner 1, cos(x) og sin(x). Vi har altså, at

Trig₁(R) = span{1 , cos(x) , sin(x)}

Hvis man kan vise, at sættet {1 , cos(x) , sin(x)} er lineært uafhængigt, har man vist, at {1 , cos(x) , sin(x)} er en basis for Trig₁(R) . Nulvektoren i Trig₁(R) er lig med nulfunktionen. Man skal derfor løse ligningssystemet

λ₁·1 + λ₂·cos(x) + λ₂·sin(x) = 0 (identisk, for alle x)

Det er klart, at λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0 er en løsning. Ser man på funktionsværdierne eksempelvis for x = 0, x = π/2 og x = π , skal specielt dette ligningssystem være opfyldt

λ₁ + λ₂ = 0
λ₁ + λ₃ = 0
λ₁ - λ₂ = 0

Dette system har en entydig løsning, nemlig λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0 , så derfor har vi
λ₁·1 + λ₂·cos(x) + λ₂·sin(x) = 0 ⇔ λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0 ,
og det viser, at sættet {1 , cos(x) , sin(x)} er lineært uafhængigt og er derfor en basis for Trig₁(R). Derfor har vi

dim(Trig₁(R)) = 3 .