Matematik
Kernen
Kan nogen forklare mig, hvordan den her eksempel i bogen er kommet frem til at danne en parameterfremstilling?
"En lineær afbildning f: R5 → R3 er givet ved matricen
A = (0 0 2 -1 8, 1 -2 3 2 1, 3 -6 10 6 5)
Vi vil bestemme kernen K = kerf for f. Vi skal løse ligningssystemet AX = 0, hvor X ∈ R5. Dette gøres på en sædvanlig måde, og vi finder at løsningsmængden beskrives ved parameterfremstillingen
(x1, x2, x3, x4, x5) = (2t1 - 3t2, t1, -2t2, 4t2, t2) = t1(2, 1, 0, 0, 0) + t2(-3, 0, -2, 4, 1) , t1, t2 ∈ R.
Hermed har vi fundet K. Sætter vi
a1 = (2, 1, 0, 0, 0) og a2 = (-3, 0, -2, 4, 1)
ses, at enhver vektor x i K kan skrives på netop en måde på formen x = t1a1 + t2a2, altså er a1, a2 en basis for K."
Jeg har også et andet spørgsmål ... Hvorfor skal man lære hvad basis er?
Svar #1
16. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Opskriv det ligningssystem, der skal løses i de 5 variable (x1, x2, x3, x4, x5). Man har her valgt at udtrykke x1, x2, og x4 ved de to øvrige x3 og x5, der så fungerer som parametre i en parameterfremstilling for løsningsmængden.
Begrebet basis for et vektorrum er et helt grundlþggende begreb i teorien for lineære vektorrum.
Svar #2
16. december 2012 af peter lind
Der er flere måder til at finde kernen på. I princippet skal du løse nogle lineære ligninger. Det mest almindelige er at bruge Gauss eliminering. Når der som her er flere løsninger foretrækker jeg selv ortogonal metoden.
Basis er et fundamentalt for vektorer og lineære afbildninger. Et smart valg af basis kan ofte lette beregningerne
Svar #3
16. december 2012 af DelFerro (Slettet)
Altså, hvis jeg nu skal reducere denne matrix, får jeg så her
A' = (1 -2 0 0 3, 0 0 1 0 2, 0 0 0 1 -4)
så kan jeg jo se, at
x1 - 2x2 + 3x5 = 0
x3 + 2x5 = 0
x4 - 4x5 = 0
Hvad så?
Svar #4
16. december 2012 af peter lind
Hvis du vælger x5 som den ene parameter kan du udtrykke x3 og x4 ved denne parameter. I en første ligning kan du vælge enten x1 eller x2 som den anden parameter. Derefter kan du udtrykke alle variablene ved de 2 parametre
Svar #5
16. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Ja, det er selvfølgelig x2 og x5, der er benyttet som parametre, ikke x3 og x5 , som jeg skrev i #1.
Svar #6
16. december 2012 af DelFerro (Slettet)
x1 - 2x2 + 3x5 = 0
x3 + 2x5 = 0
x4 - 4x5 = 0
Hvis jeg lader t1 = x5, så får jeg,
t1 = x4/4 = -x3/2 = x1/3 - (2/3)x2
Jeg ved ærligt ikke hvad jeg har gang i.
Svar #7
16. december 2012 af peter lind
Du skal udtrykke x erne ved marametrene, du får
x5=t1
x4 =4t1
x3 = -2t1
Hvis du vælger x2 som parameteren t2 får du
x2=t2
x1= 2t2-3t1
Svar #8
16. december 2012 af DelFerro (Slettet)
#7
Tusind tak for det. Det må være ligegyldig, hvilken af disse man definerer t1 eller t2, for i dette tilfælde i sammenhæng med eksemplet, kan jeg se, at de er ombyttet. Har jeg forstået det korrekt?
Skriv et svar til: Kernen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.