potensfunktion

Anvend tretrinsreglen på en potensfunktion f(x) = b · x^a .

Du kan også se på det som en sammensat funktion

Sætning (x^a)' = a • x^a-1

Bevis x^a = (e^ln(x))^a = e^{a • ln(x)}  sammensat funktion

(x^a)' = (e^{a • ln(x)})' = e^{a • ln(x)} • a • (1/x) = x^a • a • x^-1 = a • x^a-1

Man kan også vise det vha. induktion.

Vi antager at (x^a-1)' = (a-1)*x^a-2

Så er:

(x^a)' = (x*x^a-1)' = x*(a-1)x^a-2 + 1*x^a-1 = (a-1)x^a-1 + x^a-1 = a*x^a-1

altså: hvis reglen gælder for a-1 så gælderden også for a.

Den gælder for a = 2: (x²)' = (x*x)' = 1*x + x*1 = 2x¹ QED

#4

Beviset er korrekt, men man kan indvende, at induktionsbeviset kun gælder, når a er et helt naturligt tal. Det kan så udvides til de negative hele tal ved at benytte reglen for differentiation af en kvotient:

n < 0:   (xⁿ)' = (1/(x^-n))' = -1/(x^-n)² · (x^-n)' = -1·x²ⁿ · (-n)·x^-n-1 = n·x^2n-n-1 = n·x^n-1