Matematik

Beregning af punkmængdens areal

26. september 2005 af Aalborg (Slettet)

Hej

Jeg har en opgave der lyder:
Graferne for f(x) = 5 - x^2 og g(x) = 4/x afgrænser en punktmængde. Beregn denne punkmængdes areal, x > 0.

For at dette kan lade sige gøre, må jeg finde grænseværdierne, der må være skæringspunkterne. Men hvordan finder jeg dem, hvis f(x) = 5 - x^2 - 4/x = 0?

Håber I gider at se på den :]

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2005 af fixer (Slettet)

Til bestemmelse af integrationsgrænserne ønskes følgende ligning løst

-x^3+5x-4 = 0

Indse først at x=1 er en løsning. Faktoriser dernæst polynomiet, f.eks. ved polynomiedivision, og reproducer følgende sammenhæng

-x^3+5x-4 = (x-1)(-x^2-x+4)

Heraf finder du så let de to øvrige løsninger til ligningen. Husk at forkaste den ene grundet betingelsen x>0.

Svar #2
26. september 2005 af Aalborg (Slettet)

Er ikke helt med i din metode... Hvor kommer -x^3+5x-4 = 0 ind i billedet?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2005 af fixer (Slettet)

Integrationsgrænserne bestemmes - som du selv nævner - ved skæringspunkterne mellem graferne for de to funktioner.

Skæringspunkterne findes ved at løse ligningen

f(x) = g(x) , x > 0

d.v.s

-x^2 + 5 = 4/x

<=>

(-x^3+5x)/x = 4/x (ok da x > 0)

<=>

-x^3+5x = 4

<=>

-x^3+5x-4 = 0

Svar #4
26. september 2005 af Aalborg (Slettet)

OK...

Jeg kan godt huske faktorisering fra sidste år. Men da jeg ikke har bøgerne fra sidste år, samt der ikke står noget om polynomernesdivision i min formelsamlig, kender jeg ikke formlen. Jeg vil derfor blive glad, hvis du gider at skrive den.

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Du behøver reelt ikke at dividere polynomier, hvis ikke du har lært det. Følgende involverer ikke polynomiers division, men er et forslag til, hvorledes man kvalificeret kan bestemme faktoriseringen.

Vi observerer umiddelbart, at x = 1 løser ligningen (som fixer bemærker i #1). Vi faktoriserer:

-x^3 + 5x - 4 = (x-1)*("noget")

Man kan let se, at "noget" må være på formen

-x^2 + kx + 4 (indse dette)

for et reelt tal, k. Vi multiplicerer højre side ud:

(x-1)(-x^2 + kx + 4) =
-x^3 + x^2 + kx^2 - kx + 4x - 4 =
-x^3 + (1 + k)x^2 + (4-k)x - 4

Sammenholdes dette med venstre side, da slutter vi, at k = -1. Så

-x^3 + 5x - 4 = (x-1)*(-x^2 - x + 4)

De resterende rødder i tredjegradspolynomiet må være rødderne i polynomiet

q(x) = -x^2 - x + 4

og I skulle gerne have lært at løse andengradsligninger.

//Epsilon

Svar #6
26. september 2005 af Aalborg (Slettet)

Jeg er desværre stadigvæk ikke med på det her punkt:

"Vi observerer umiddelbart, at x = 1 løser ligningen (som fixer bemærker i #1). Vi faktoriserer:

-x^3 + 5x - 4 = (x-1)*("noget")

Man kan let se, at "noget" må være på formen

-x^2 + kx + 4 (indse dette)"

Hvilken formel bruger du? Jeg ville tror man skulle bruge: a(x-r1)(x-r2), hvilket du dog ikke bruger...

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Du er vist med på, at eftersom x = 1 er en rod i tredjegradspolynomiet, så kan det faktoriseres;

-x^3 + 5x - 4 = (x-1)*("noget")

Koefficienten til x^3 er -1, og nultegradsleddet er -4. Derfor skal "noget" indeholde leddene '-x^2' samt '4' for at resultere i '-x^3' og '-4', når "noget" multipliceres med (x-1). Derfor må "noget" være på formen

-x^2 + kx + 4

for et reelt tal, k. Resten er beskrevet i #5.

//Epsilon

Skriv et svar til: Beregning af punkmængdens areal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.