Differentialligning

Brug at væksthastighjeden er dN/dt hvor N er populationsstørrelsen

Vil det sige at a) er:

dN/dt = 5000 * N

a) Lad antallet af ræve til tiden t være x(t); så er dx/dt = k*x(t)

b) Integreres denne ligning får man:   ln(x) = k*t  + C1, dvs x(t) = C2*e^kt.

     Til t = 0 er der 5000 ræve, så forskriften kan skrives x(t) = 5000*e^kt

     For at bestemme k har man at  ln(x/2) = k(t+3). Heraf fås k = -ln(2)/3

     Så den fulde forskrift bliver x(t) = 5000*e^-ln(2)/3't

c) Bestem t når x(t) < 2.

Når væksthastigheden er proportional med størrelsen af populationen, ved man, at der er tale om en eksponentiel udvikling. Startværdien er 5000, og halveringstiden er 3år, så den eksponentielle model kan umiddelbart nedskrives som

N(t) = 5000 · (1/2)^t/3 ,

hvor t måles i antal år efter det tidspunkt, hvor populationen var 5000.

a) Beskriv udviklingen hvor du opstiller en differentialligning

                    dy/dt = k • y

                    (1/y)dy = kdt             

                    ∫(1/y)dy = ∫kdt            

                    ln(y) = kt + ln(y₀)

b)

                    y = y₀•e^kt = y₀•a^t = y₀•(1/2)^t/T½ = 5000 • ((1/2)^1/3)^t = 5000•0,793701^t

                    y = 5000•0,793701^t

c)

              når der kun er to individer tilbage må bestanden betragtes som uddød

                    2 = 5000•0,793701^t

                    0,0004 = 0,793701^t

                    ln(0,0004) = ln(0,793701) • t_uddød

                    t_uddød = ln(0,0004) / ln(0,793701) ≈ 34 år