Matematik

HJÆLP til 4.gradsligning...!!

04. oktober 2003 af Alica (Slettet)

Vil lige høre hvordan man løser en 4.gradsligning???

er det noget med at dividere lige som 3.gradspolynomier eller hva???

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. oktober 2003 af Bubbles (Slettet)

Det er sådan lidt svært at løse fjerdegradsligninger i hånden, men generelt plejer de fjerdegradligninger man får i gym at være maskerede andengradsligninger!

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. oktober 2003 af SP anonym (Slettet)

På følgende hjemmesider kan du se løsningsformlerne til de generelle tredje- og fjerdegradsligninger:

3.grad: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
4.grad: http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. oktober 2003 af 404error (Slettet)

Oftest er det også ret uinteressant at løse fjerdegradsligninger eksakt. Det, der snarere er interessant er, at fjerdegradsligningen er den polynomiumsligning af højeste grad, for hvilken man generelt kan opskrive en eksakt løsningsformel. For femtegradsligninger og højere kan det ikke lade sig gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. oktober 2003 af *A* (Slettet)

Altså hvis du fx har en ligning der hedder 2x^4+3x^2+3 så kan du indsætte t=x^2 og løse ligningen 2t^2+3t+3 og derefter tage kvadretroden af tallene, så har du x

Svar #5
04. oktober 2003 af Alica (Slettet)

ok her er en ligning af 4. grad:

g(x)=(8x^4)+(4x^3)-(6x^2)-5x-1

er det en forklædt 2.gradsligning???

Svar #6
05. oktober 2003 af Alica (Slettet)

ka jeg ik nok få en til at fortælle om det er en "forklædt" 2.gradsligning, og hvad fremgangsmåden er?

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Jeg ville ikke sige det er en forklædt andengradsligning men hvis jeg skulle løse den i hånden ville jeg omskrive den til

(x-1)*(2*x+1)^3
og så løse
(x-1)=0
og
(2*x+1)^3=0

Svar #8
05. oktober 2003 af Alica (Slettet)

er der ikke andre muligheder??

det er en del af en anden opgave som lyder på, at man skal vise at 2 er ros i p, og at man også skal finde de andre rødder i p.

Og til sidst står der så: løs uligheden p(x)

nu ved jeg ikke om man skal bruge noget af det forrige til at løses den???

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Den ligning som du har givet,
g(x)= 8x^4)+(4x^3)-(6x^2)-5x-1

er den den som du skal vise har har rod i 2 og finde de andre rødder for.

For så har du skrevet den forkert op for den du har skrevet op har rødder 1 og -1/2

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. oktober 2003 af SP anonym (Slettet)

Hvis du kender en rod i polynomiet, så brug polynomiers division til at reducere.

--> Niels

Hvordan kan du lige umiddelbart se, at

(8x^4)+(4x^3)-(6x^2)-5x-1 = (x-1)(2*x+1)^3 ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. oktober 2003 af SP anonym (Slettet)

Har regnet en millard af disse opgaver før så hvis det er meningen man skal kunne løse dem uden hjælpemidler kan næsten altid skrive dem på en eller anden nem måde, men oftest kan denne være svær lige at gennemskue. Tit med (x-1) eller med (x+1) gange med noget andet hvis man skal løse en 4-grads-ligning. Eller de opgaver vores lærer har givet os har næsten altid været sådan.
En forklaring som er lidt knudret er:
Man kan prøve sig frem med (x-1) og (x+1). Det er oftest (x-1) fordi man får meget store tal med (x+1).
Som udgangspunkt vælges derfor (x-1).
Da vi jo skal have x^4 skal det andet led hedde noget med x^3.
Så skal vi bare finde ud af hvad der skal stå inden i den. Det er jo nok ikke 1 da både skal have 8 og 12 så det er 2 eller mere. Men da tallene jo mere hurtigt bliver gjort større bare fra 2 til 3 vælges altid den laveste først og så prøves der efter.
Langsommeligt men man kan løse de fleste 4 gradsligning som man får uden hjælpemidler og slipper for at huske med at sætte y=x^2 osv.

men den virker ikke altid

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Jeg blev så anonym, ser lige om det virker nu

Svar #13
05. oktober 2003 af Alica (Slettet)

Til Niels:

Når man skal finde rødderne til en 3.gradsligning, laver man jo polynomiers division og får dermed en 2.gradsligning, hvor efter det er nemt at beregne rødderne.

Når man så dividere en 4.gradsligning, får man jo så en 3.gradsligning, og hvordan finder man så rødderne til den??? skal man dividere den engang til, så det bliver en 2.gradsligning, og så derefter beregne rødderne eller hva???

Brugbart svar (0)

Svar #14
06. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Når man skal løse en tredjegradsligning skal man ikke nødvendigvis bruge polynomiers divivison.

Se på eksemplet du selv gav
g(x)= 8x^4)+(4x^3)-(6x^2)-5x-1

det omskrev jeg til
(x-1)(2*x+1)^3

Her har du jo tredjegradsligningen
(2*x+1)^3
Den kan skrives som
(2*x+1)*(2*x+1)*(2*x+1)=0 (for at finde rødderne)
Hvis det skal give 0 skal mindst en af (2*x+1) give 0, men da de alle sammen er ens bliver de nødt til at give 0 alle sammen. Derfor løses blot
(2*x+1)=0
dvs x=-1/2

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. oktober 2003 af SP anonym (Slettet)

Og nu er det på tide med et resume:

Jeg antager, at vi generelt kun har formelen for 2. gradsligningen til rådighed. Formeler for 3. og 4. grad findes, javist, men de er omfattende, der skal skelnes mellem specialtilfælde og de er svære at bruge og umulige at huske. Så dem kan vi ikke regne med... Formler for ligninger af højere grad er det teoretisk umuligt at opstille.

Derfor er de kun diverse tricks tilbage, her følger de to almindeligste:

1. Gæt en rod, lav polynomiers division. Har man gættet en rod til polynamiet p(x), f.eks. x=a så ved man at polynamiumsdivisionen p(x)/(x-a) vil gå op, og resultatet bliver et polynomium af 1 grad mindre end p. Almindelig fremgansmåde ved 3. grads polynomier. Med dit polynomium gætter vi roden x=1 og dividerer med (x-1) og får 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1

2. Opdag at p(x) kan skrives som polynomium af et andet polynomium. Det er det Niels gør: efter at have divideret, opdager han på en eller anden mystiks måde, som han endnu ikke har afsløret (!) at 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 = (2x+1)^3. Dette er et førstegrads polynomium q(x)=(2x+1), sat ind i et trediegradspolynomium r(t)=t^3, d.v.s. p(x)=r(q(x))Det er smart i dette tilfælde, fordi r(t)=0 nemt kan løses, fordi der kun er 3.gradsleddet: man tager bare kubikrod - og så har vi q(x)=0, hvilket har løsningen 1/2.

Svar #16
12. oktober 2003 af Alica (Slettet)

ja sidder altså stadig med den rådne opgave, men nu vil jeg altså løse den, selvom den skulle have været afleveret for 100 år siden.

Til Niels: Du skriver i dit sidste indlæg at løsningen er 1/2, men bag i bogen står facit for opgaven og den siger 1 og -1/2 ??? så er det at jeg bliver mer' forvirret end jeg i forvejen er !!! HJÆÆÆÆLP

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. oktober 2003 af SP anonym (Slettet)

I polynomiet

p(x) = 8x^4+4x^3-6x^2-5x-1

er der fire reelle rødder: en trippelrod for x = -1/2 og en rod for x = 1.
Regn efter ved at indsætte og tegn grafen for p.

Skriv et svar til: HJÆLP til 4.gradsligning...!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.