En blind mus i labyrint!

Til den første opgave, altså a, ser jeg på figuren med de angivne informationer; blind mus vil ikke være i den samme rum indtil den har fundet osten. Derfor vil sandsynligheden være 50% for at vælge mellem to steder fra et rum, og mellem tre steder vil derimod være omkring 33% (se rum 3). Efter at have fundet osten, vil musen ikke tage fra det rum til et andet rum, dvs 0%, som ifølge denne opgave vil musen forblive 100%. Jeg har så opstillet en matrix P ved

Er matricen rigtigt opstillet? Er min påstand også korrekt?

#1

Matricen ser rigtig ud.

#2

Vil det sige, at det er korrekt svaret til spørgsmålet? Er min påstand også rigtigt, hvor man skulle redegøre for andre P_i5 'er? Nu hvor jeg skal lave opgave b, tænker jeg på

Pe_j for j = 1.. 5, hvilket er jo det samme som PE, hvis man skulle gøre det hele på een gang, så er den første søjle jo j = 1, og den sidste søjle j = 5. Hvad menes der så helt præcis om "Tjekke, at matricen P i (a) har den egenskab" ? Jeg synes det vil give helt den samme, idet PE = P, så må Pe_j = P for j = 1..5.

Tallene i søjle j er sandsynlighederne for at musen er i de bestemte rum efter 1 min, når den er i rum j. Summen af elementerne i hver søjle j skal derfor være lig med 1. Den egenskab kan man tjekke, om den er opfyldt.

Mener du her,

Σ⁵_j=1 Pe_j = 1 ?

#5

Nej, Pe_j er en vektor. Det er summen af elementerne i Pe_j , der er lig med 1. Summen af elementerne i hver søjle i matricen P er lig med 1 .

#6

Ah ok. Jeg er med på det. Her står der omkring største/mindste sandsynlighed og om det svarer til mine forventninger. Her kan du se herunder vha Maple, at jeg ganger P¹⁰ med e_j, for j = 1, ..., 4

Her kan jeg se, at summen af elementerne i hver søje i denne matrix er forskelligt fra 1, derfor mener jeg selv, at det ikke svarer til mine forventninger (jeg tvivler hvorfor). Her kan jeg også se, at summen af elementerne e₂ = e₄, så er summen af elementerne e₁ < e₃, for e₁ = 1081/432 ≈ 2.5 og e₃ = 4043/864 ≈ 4.68. Hvad mener du om det? Er jeg på det rette spor?

#7

Jeg tror ikke du har beregnet P¹⁰ korrekt. Man vil vedvarende finde, at summen af elementerne i hver søjle er lig med 1.

#8

Du har fuldstændig ret! Jeg kom til at tilføje 1/2 i den sidste søjle (P₃₅) ved fejl. Har rettet det. Herunder er der to forskellige resultater, hvor den venstre er P¹⁰, og den højre er P¹⁰ej, j = 1,..,4 er

Ja, det svarer til 'mine' forventninger! Hvad skal jeg sige om den største og den mindste? Skal jeg sige, at den mindste sandsynlighed er 625/3888 ≈ 0.161, og den største er 1319/1944 ≈ 0.678 ?

#9

Man skal bestemme sandsynligheden for at musen finder osten på højst 10 min når den starter i rum j. Det må være lig med 1 minus sandsynligheden for at den ikke fandt osten på 10 min, og disse sidste sandsynligheder aflæses af matricen P¹⁰ :

j            Sands. for at finde ost i højst 10 min
1                671/1296  = 0,5177
2               4651/7776 = 0,5981
3               1319/1944 = 0.6785
4               4651/7776 = 0,5981
5                       1

Det er vel, hvad man vil forvente. Rum 2 og 4 ligger lige langt fra rum 5; rum 3 ligger nærmere, og rum 1 ligger længst væk fra rum 5.
 

#10

Hmm! Din forklaring giver meget mening! Her i opgave c, forstår jeg den måde som her,

lim _k→∞P^ke_j = 1 i de sidste række. Men min Maple driller, og vil ikke vise det helt. Når jeg lader  k = 100, får jeg her

I denne opgave står der noget om en hint. Jeg har vha Maple fundet egenværdi (venstre) og egenvektor (højre) af matricen P her:

Man kan ikke finde den inverse Matrix af P, idet det(P) = 0. Hvad gør jeg?

Da jeg ikke kunne finde grænseværdien for det, at k går mod uendelig direkte på Maple, spurgte jeg min lærer om det. Han sagde noget med, at man skulle benytte her,

D^k = SP^kS^-1 ⇒ P^k = S^-1D^kS

Her skulle jeg eksempelvis vide, hvad der står på den første søjle i den sidste række, hvorefter jeg så skal bruge grænseværdien for det. Jeg er igen i tvivl om det. Først finder jeg egen- værdier og vektorer (approx):

(Venstre er egenværdier, og højre er egenvektorer). Egenvektorer kalder jeg for S, så har jeg S^-1 her

Nu får jeg, at D = SPS^-1 =

Skal jeg så finde P^k = S^-1D^kS = ... ? (Jeg får samme problem...)

Hvis P er diagonaliserbar, kan man skrive P som

P = S^-1·D·S ,

hvor D er en diagonalmatrix af formen D = diag[d₁ d₂ d₃ d₄ d₅] , og der vil da gælde

D^k = diag[d₁^k  d₂^k  d₃^k  d₄^k  d₅^k] ,

og der vil gælde

P^k = S^-1·D^k·S

Hvis D^k har en grænseværdi D^∞ for k→∞ , kan man så beregne

P^∞ = S^-1·D^∞·S

#13

Når jeg finder D og reducerer (trappeform), fandt jeg så ud af, at D = diag[1 1 1 1 1]

P^k = S^-1D^kS = ..

Jeg synes det er mærkeligt. Hvis jeg reducerer S og S^-1, bliver de begge jo E

#14

Det kan ikke være rigtigt, at D = diag[1 1 1 1 1] = E .

Prøv se filen (jeg har defineret M istedet for D). 

Jeg ved det ser rodet ud. Resultaterne er ikke helt det samme som i #12.

#16

Det karakteristiske polynomium for P er

p(λ) = (λ-1)·λ²·(λ-√(5/6))·(λ+√(5/6)) ,

så egenværdierne er 1 , √(5/6) , -√(5/6), og 0, med rodmultipliciteterne hhv. 1, 1, 1, og 2 .

Matricen P er diagonaliserbar med D = diag[1 √(5/6) -√(5/6) 0 0] .

Jeg benyttede Wolfram til at beregne S og S^-1:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+%7B%7B0%2C.5%2C0%2C.5%2C0%7D%2C%7B.5%2C0%2C1%2F3%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C.5%2C0%2C.5%2C0%7D%2C%7B.5%2C0%2C1%2F3%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2F3%2C0%2C1%7D%7D

hvor man skal læse M = P og J = D .

Da D^∞ = diag[1 0 0 0 0] , fås så

P^∞ = S·D^∞·S^-1 = {{0,0,0,0,0} , {0,0,0,0,0} , {0,0,0,0,0} , {0,0,0,0,0} , {1,1,1,1,1}}

Jeg ved ikke, hvor vigtigt det er, at musen i opgaven er blind. Der må snarere være tale om en mus med forringet lugtesans. Osten bliver sikkert ret "levende" efter at have ligget i rum 5 i ret lang tid.

#18

Ja! God pointe. Jeg synes det er meget vanskeligt at bruge Maple, så vil jeg lige prøve spørge noget lignende. Altså om der findes en generel formel, der har med det her at gøre:

lim _k→∞(1/x)^k = 0 for x ≠ 0. 

Fordi jeg tænkte på, som du skrev (ændrer på det), at

 D^∞= diag[1^∞ √(5/6)^∞ -√(5/6)^∞ 0^∞ 0^∞]

Så, hvordan kan man være sikker på uden hjælp af lommeregner, at

lim _k→∞√(5/6)^k = 0 ?

#19

Man ved, at x^k → 0 for k → ∞ , for ethvert x, for hvilket |x| < 1 .

|x^k+1| = |x^k|·|x| < |x^k| , når |x| < 1 .

For x = 0, er der intet at vise. Antal, at 0 < |x| < 1 . Hvis der er givet et ε > 0, kan vi vælge et N > ln(ε) / ln(|x|), og der vil gælde

|x|^N+n < ε  for alle n > 0 .