optimering

Hvis bunden er kvadratisk, er der to variable i spil: sidelængden x i den kvadratiske bund, og kassens højde h. Opstil udtrykket for kassens rumfang V udtrykt ved x og h, og benyt, at V = 4000cm³ til at udtrykke h ved x.

Opstil dernæst et udtryk for kassens samlede overflade A (kassen er åben = intet låg), udtrykt ved x og h, og indsæt heri udtrykket for h, så at man får overfladen A som en funktion A(x) af x alene. Find minimum for funktionen A(x) .

Jeg går ud fra, at kassens bund er kvadratisk med sidelængde b. Kassens højde er h.

Rumfanget er da: I. V = b²h = 4000 - og arealet er II. A = 4hb + b² (med "låg" ville det være A = 4hb + 2b²)

I. giver h udtrykt ved b: h = V b^-2, - som indsættes i II.: A = A(b) = 4Vb^-2b + b² = 4V b^-1 + b²

Hvis du tegner kurven A(b), f.eks. i Excel, kan du se, at funktionen har globalt minimum i området 0 < b < 50.

Se venligst den vedhæftede figur.

Det eksakte punkt med min. fås ved at sætte dA/db = -4Vb^-2 + 2b = 0 ⇒ b = 2Vb^-2 ⇒ b³ = 2V ⇒ b = (2V)^1/3

Indsættes V = 4000 cm³ - fås: b = 20 cm.

Her er den: