"Skråkast"

Når klodsen forlader punkt C, vil den have en højde y₀ = R/2 over gulvet, og den vil have en fart v₀ bestemt af v₀² = 3Rg, og hastighedsvektoren vil være parallel med tangenten til cirklen i C. Hastigheden i lodret retning er da v₀·(√3)/2 , så bevægelsen i lodret retning er

y(t) = y₀ + (v₀·(√3)/2)·t - (1/2)·g·t² = (R/2) + (3/2)·t·√(Rg) - (1/2)·g·t² ,

mens hastigheden i lodret retning er

v_y(t) = v₀·(√3)/2 - gt = (3/2)·√(Rg) - gt .

Klodsen er i det højeste punkt, når v_y(t) = 0 , dvs til tiden

t = (3/2)·√(R/g) , der med R = 0,4m og g = 10m/s beregnes til

t = 0,3s (eksakt) .

Højden over gulvet i dette punkt er så

y(t) = (R/2) + (3/2)·(3/2)·R -(1/2)·g·(9/4)·R/g = R·(1/2 + (9/4) - (1/2)·(9/4)) = R·(1/2 + 9/8) = (13/8)·R = 0,65m

#1

Tak Torben. Jeg tænkte på, om det er muligt at udtrykke det på formen af energibevarelsen, hvor

(1/2) mv₁² + mgy₁ = (1/2) mv₂² + mgy₂

Her vælger jeg, at det skal foregå fra punkt C til punkt D, hvor klodsen når det højeste punkt.

(1/2)mv_C² + mgh_C = (1/2)m·0 + mgh_max Altså

(1/2)v_C² = g(h_max - h_C)

#2

Det kan man godt, men du skal jo tage i betragtning, at farten ikke er 0 i det højeste punkt. Klodsen har en konstant hastighed i x-retningen, der også bidrager til den mekaniske energi.

#3

Hmm .. Hvordan vil du opstille det i et helt udtryk af energibevarelsen (uden at isolere det)?

#4

Man skal opløse hastighedsvketoren i punktet C i komponenter efter x- og y-retningerne. Hastighedsvektoren danner vinklen 30º med vandret, så

v_Cx = (1/2)·v_C = (1/2)·(3Rg)^1/2

(jeg kaldte farten v_C for v₀ i #1).

Den samlede kinetiske energi i punktet C er

E_kinC = (1/2)·m·v_C² = (3/2)·m·R·g ,

men den del, der svarer til hastigheden i x-retningen, er "låst fast", så derfor er det kun 1 - (1/2)² = 3/4 af E_kinC, der kan omsættes til potentiel energi, så højdeændringen Δh fra punkt C til det højeste punkt er bestemt af

m·g·Δh = (3/4)·E_kinC = (9/8)·m·g·R , eller

Δh = (9/8)·R

Da punktet C befinder sig i højden y₀ = R/2 over gulvets niveau, vil det højeste punkt være i en højde over gulvet

h_max = y₀ + Δh = (1/2)·R + (9/8)·R = (13/8)·R

#5

".. der svarer til hastigheden i x-retningen, er "låst fast", så derfor er det kun 1 - (1/2)² = 3/4 af E_kinC, der kan omsættes til potentiel energi"

Kan du lige prøve forklare, hvilket udtryk du havde anvendt til at sige med; 1 - (1/2)² = 3/4?

#6

Man benytter, at v_C² = v_Cx² + v_Cy² og at v_Cx = (1/2)v_C (30-60-trekanter).

Det vil sige, at man altså skal fokusere på y-retning. Er det korrekt forstået, fordi det kun den eneste måde, for v_y ved højeste punkt er 0 m/s samtidig det hænger sammen til den gravitationelle energi, dvs mgy - eller kalder man det for potentiel energi?

Du finder v_Cy², så v_Cy² = v_C² - v_Cx² = v_C2² - ((1/2)v_C2)² = (3/4)v_C2²

dermed

(1/2)mv_Cy2 + mgy₀ = (1/2) m·0² + mgh_max        værdierne indsat og reduceret,

(3/8)v_C2² + g(1/2)R = gh_max      ⇒     

h_max = (3/8)v_C2²/g + (1/2)R = 0.649 m

Er denne fremgangsmåde korrekt?

#8

Ja, det er for så vidt korrekt.

I punkt C er den samlede mekaniske energi

E_mekC = E_potC + E_kinC = mgy₀ + (1/2)m·v_C² = mgy₀ + (1/2)m·(v_Cx² + v_Cy²)

mens i det højeste punkt er den samlede mekaniske energi

E_mek,hmax = E_pot,hmax + E_kin,hmax = mgh_max + (1/2)mv_Cx² .

Da den samlede mekaniske energi er bevaret, er E_mekC = E_mek,hmax , og derfor

gy₀ + (1/2)(v_C² - v_Cx²) = gh_max , eller

g·R/2 + (1/2)v_C²·(1 - (1/2)²) = gh_max , og dermed

g·R/2 + (1/2)·3Rg·(3/4) = gh_max

Men dit resultat h_max = 0,649m er forkert. Det er 0,65m præcis, som vist i to indlæg ovenfor.

#8

Hvis man ser på bevægelsesligninger, kan man dele problemet op i to adskilte problemer, med en bevægelse med konstant hastighed i x-retningen, og en bevægelse med konstant acceleration i y-retningen.

Hvis man foretager energibetragtninger og ser på bevarelse af den mekaniske energi, skal man betragte al energien; der er bidrag til den kinetiske energi fra både x-bevægelsen og y-bevægelsen.

#9 & #10

OK. Jeg havde blot sat værdier ind, hvad v_C2 (3.46 m/s) og g (10 m/s²) stod for uden at reducere det videre. Det er måske hurtigere at sætte værdier ind og afrunde resultatet, der er "tæt på" det præcise resultat end at gøre det præcis, der nogenlunde tager tid. Ærligt, mener jeg, at, man tænker ikke over at gøre det præcis eller reducere videre (til et flot resultat, dvs eksakt). Men jeg kan godt se fordelen af det. Så vil jeg prøve vænne mig til det til.

Mange tak for hjælpen.

#11

Om man tænker over det eller ej afhænger tlsyneladende af, hvem der løser opgaven, Man bør såvidt muligt altid søge en formel løsning, før man indsætter talværdier.