Graf - bestemmelse af lokal ekstrema og monotoniforhold

Der er lokalt ekstremum, hvor f '(x) = 0. At f '(x) = 0 , betyder at grafen for f(x) har vandret tangent i et sådant punkt. Aflæs de steder, hvor grafen har en vandret tangent.

#1

Vil det sige ved nulpunkter for x = -3, x = -1, og x = 4.

Det er jo grafen for den afledede funktion f' der vises.

f har ekstrema, hvor grafen for f' skærer x-aksen ( f'(x)=0 )
fortegnet for f' (altså om grafen er over eller under x-aksen) "afslører"
om f er voksende eller aftagende i det pågældende interval.

integrer f '(x) så har du f(x) og derved kan du lave en monotilinje for f(x) ellers ved at der hvor f '(x) skærer x-aksen, så har du ektrama for f(x) (jf. #3)

#3

Ja, jeg havde overset, at det var grafen for f '(x), der var givet, så man skal aflæse nulpunkterne, som det er gjort i #2. Dernæst aflæses fortegnet for f '(x) mellem og uden for nulpunkterne.

#5

Det med nulpunkterne var jeg godt klar over, men hvordan aflæses fortegnet for f '(x) mellem og uden for nulpunkterne?

Er det bare:

f'(x)   +    0    -   0      -         0    +
-----------|---------|--------------|----->
x          -3         -1                4

Lokale ekstrema: f(-3) og f(-1) og f(4).

f er voksende i intervallet ] -∞; -2 ]
f er aftagende i intervallet [-2;2 ]
f er voksende i intervallet [2; ∞ [

#5

Er det rigtigt det i #6?

#6

Nulpunkterne er aflæst korrekt, men man kan jo se, at fortegnsvariationen er

- 0 + 0 - 0 +

Du har forkert fortegn i de første to områder .

De tre sidste linier

f er voksende i intervallet ] -∞; -2 ]
f er aftagende i intervallet [-2;2 ]
f er voksende i intervallet [2; ∞ [

er helt forkerte, da intervallerne her ikke hænger sammen med intervallerne for f '(x). Du har på en eller anden måde fortolket grafen for f '(x) som grafen for f(x).

#8

Hov passer dette bedre?

f er aftagende i intervallet ] -∞; -3 ]
f er voksende i intervallet [-3;-1 ]
f er aftagende i intervallet [-1; 4]
f er voksende i intervallet [4; ∞[

#9

Ja, det er meget bedre. Beskriv også arten af hvert ekstremum.

#10

Hvad mener du helt konkret med "arten"

#11

Altså hvorvidt der er tale om lokalt minimum eller lokalt maksimum.

#12

Er det ikke sådan her

f er aftagende i intervallet ] -∞; -3 ]
f er voksende i intervallet [-3;-1 ]  (lokalt minimum)
f er aftagende i intervallet [-1; 4]  (lokalt maksimum)
f er voksende i intervallet [4; ∞[

#13

Nej, der er ikke lokalt minimum eller lokalt maksimum i et interval. Der er lokalt ekstremum i de tre x-værdier x = -3, x = -1, og x = 4. Angiv arten af det lokale ekstremum i hvert af disse tilfælde.

#14

Aha..

Er det så ikke x = -3 (maksimum)

x=-1 (vandret vendetangent)

x = 4 (minimum)

#15

Nej, det er ikke korrekt. Fortegnsvariationen er jo

f '(x)   -     0      +       0          -               0          +
-------------|-------------|----------------------|------------------->
x             -3              -1                          4

f(x)         min           maks                 min
        aft          voks               aft                    voks

Grafen for f(x) har vendetangent, hvor f ''(x) = 0.

#16

Super, giver meget bedre mening.. Tak!