Mate

f(x)= 1/ x^2+1 = x^-2 +1

brug

∫ xⁿ dx= 1/(n+1)xⁿ⁺¹+ k

# 2   f er i tilfældet her jo ikke defineret for x = 0. Det må være funktionen i # 1, spørgeren mener. På A-niveau ville man vel heller ikke være i tvivl om den elementære integrationsregel.

Men, # 0 , for en anden gang, sæt parenteser, så tingene ikke dobbelttolkes !   Eller skriv i LaTeX .

#7

Det følger af sætningen om differentiation af den omvendte funktion.

Vi har således

(tan^-1(x))' = 1/(tan'(tan^-1(x))) = cos²(tan^-1(x))

Da tan²(x) = sin²(x)/cos²(x) = (1-cos²(x))/cos²(x) = (1/cos²(x)) - 1 , følger det, at

1/cos²(x) = 1+tan²(x), og dermed

cos²(x) = 1/(1+tan²(x)) .

Heraf ses så, at

cos²(tan^-1(x)) = 1/(1+tan²(tan^-1(x))) = 1/(1+x²) , hvorfor

(tan^-1(x))' = 1/(tan'(tan^-1(x))) = cos²(tan^-1(x)) = 1/(1+x²) .

Heraf følger resultatet i #1.

                         ₀∫¹1/(1+x²)dx  =  [tan^-1(x)]₀¹  =  tan^-1(1) * tan^-1(0)  =  ^π/₄ - 0  = ^π/₄

eller noteret

                                       y = tan^-1(x)

                                       tan(y) = x                                      som differentieret mht x giver

                                       (1 + tan²(y)) • ^dy/_dx  =  1
hvoraf
                                                    ^dy/_dx = 1/(1 + tan²(y))

                                                    ∫(^dy/_dxdx) = ∫1/(1 +x²)dx      

                                       tan^-1(x) + k = ∫1/(1 +x²)dx

rettelse af tastfejli #10

                                                                                  ⇓                                                                  
                            ₀∫¹1/(1+x²)dx  =  [tan^-1(x)]₀¹  =  tan^-1(1) - tan^-1(0)  =  ^π/₄ - 0  = ^π/₄