Differential Geometri: Find parameterfremstillingen for kurven selv, med baggrund i dens 1. afledte

Man kan starte med at gøre visse iagttagelser. Kurven er klart en plan kurve, der helt forløber i x-y-planen z = 0.

Kurvens tangentdrejning θ(s) vil være bestemt af

v₀ + θ(s) = s² ,

så vi har for kurvens krumning κ at

κ(s) = dθ/ds = 2s .

Krumningen er altså proportional med buelængden s.

Man vil have, at

x(s) = ₀∫^s cos(u²) du             og         y(s) = ₀∫^s sin(u²) du

Hej Andersen

Fedt, du lader til at have styr på det.

Kurvens tangentdrejning som du kalder θ(s), troede jeg sådan set var g'(s). Hvad er forskellen?

Kan heller ikke forstå, hvordan du på baggrund af, at krumningen, κ(s), er proportional med s, kan drage konklusionen, at der skal integreres fra 0 til s ved bestemmelse af x(s) og y(s) .

 

g'(s) angiver retningen af tangenten ikke drejningen af tangenten

Der er ingen grund til at blande krumningen ind i beregningerne med mindre der spørges om den andet sted i opgaven. Jeg ved ikke hvorfor du tror at du ikke bare kan integrere g'(s). Det kan du godt.

Ja ok.

Min TI89 kan ikke foretage integrationen, men med maple får jeg:

₀∫^s cos(u2) du = ∫cos(s²) ds = (1/2)*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)*s/sqrt(Pi))

og

₀∫^s sin(u2) du = ∫sin(s²) ds = (1/2)*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelS(sqrt(2)*s/sqrt(Pi))

Er bare aldrig stødt på de der Fresnel-funktioner før.

 

#5

De to funktioner kaldes Fresnel-integraler, og kurven kaldes Eulers spiral eller Cornus spiral

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

Bemærkningerne om krumningen i #1 var ikke nødvendige for at opstille integralerne for koordinatfunktionerne, idet de jo følger direkte ved integration af x'(s) og y'(s), men de var nævnt som et vink.

Man finder i litteraturen forskellige normaliseringer for Fresnelintegralerne.

Jeg er også gået i stå i den sidste delopgave, som lyder:

c) Show that the curve is bounded (i.e. contained inside a sufficiently large sphere in R³).

Jeg kan godt se, at ovenstående gør sig gældende, men ikke hvordan, man viser det.

Skal jeg finde Cornu-spiralens omskrevne cirkel?