Omskrivning til partialbrøk

Benyt parenteser!!

Skriv

1/(v²-k²) = 1/(v+k)(v-k)) = a/(v+k) + b/(v-k)

og bestem konstanterne a og b ved at gange tilbage. Man får så 2 ligninger til bestemmelse af a og b.

Jeg regner videre på #1:

1/(v-k)*1/(v+k) = a/(v-k)  + b/(v+k)

Sæt højre side på samme brøkstreg:

[a(v+k) + b(v-k)]/[(v-k)(v+k)]

Hvis to  brøker med samme nævner skal være lige store, så må deres tællere være lige store:

a(v-k) + b(v+k) = 1

Sættes v = k fås: 2kb = 1

Sættes v = -k fås: -2ka = 1

Heraf findes a og b.

Hvorfor sættes v=k og v=-k??

#3

Udtrykket skal gælde for alle v . Man kan benytte fremgangsmåden i #1, hvor man finder konstanterne ved at benytte identitetssætningen for polynomier. I #2 benyttes, at man ved at vælge to bestemte værdier for v får to ligninger, der hver kun indeholder den ene koefficient, som så umidddelbart kan bestemmes.

Men hvordan findes konstanterne videre ud fra #1? 

#5

Man har

1/(v²-k²) = 1/((v+k)(v-k)) = a/(v+k) + b/(v-k)

                                          = [ a·(v-k) + b·(v+k) ] / ((v+k)(v-k))

                                          = [ av - ak + bv + bk ] / (v² - k²)

                                          = [ (a+b)v + (b-a)k ] / (v² - k²)

Udtrykket vi startede med har samme nævner som det sidste udtryk. Udtrykket (a+b)v + (b-a)k skal da som polynomium i v stemme overens med polynomiet 1 . Det kan kun lade sig gøre, hvis de to polynomier stemmer overens i koefficienterne, dvs. der må gælde

a+b = 0 og

(b-a)·k = 1

Vi har alts 2 ligninger med de to ubekendte a og b. Da a = -b, fås så

2bk = 1, eller b = 1/(2k), og dermed a = -1/(2k). hermed er vist, at

1/(v²-k²) = -(1/(2k)) / (v+k) + (1/(2k)) / (v-k)