Differential Geometri: Torus

Niveauet er "Videregående", så du har vel gjort dig nogle forestillinger om, havd opgaven drejer sig om? Hvad forstås der ved et "patch"?

Ved en patch forstås et domæne i planen, som via. σ(u,v) transformeres til en surface. Den indeholder altså information om u og v.

En patch for torusen kan være givet som

U={ (u,v) | -π<u<π ; -π<v<π }

Denne patch vil dække hele torusen pånær dens meridian circle i xz-planet på den negative del af x samt torusens mindste latitude circle.

Jeg kan dog ikke se, at jeg kan nøjes med tre patches.

Ved en kombination af to patches, lad os sige

U1={ (u,v) | 0<u<2π ; -π<v<π }     og
U2={ (u,v) | -π<u<π ; 0<v<2π }

Kommer jeg frem til, at der må mangle to punkter på torusen.

Kombinerer jeg U1 og U2 med følgende patch

U3={ (u,v) |0<u<2π ; 0<v<2π }

Vil jeg dog mene at jeg stadig mangler et punkt på torusen.

Derfor har jeg altså brug for den fjerde patch som så kunne hedde U=U4={ (u,v) | -π<u<π ; -π<v<π }




 

Har fundet inspiration i math.berkeley.edu/~reshetik/140/140-hw4.pdf , (Opgave 6) Men det er ikke klart for mig, hvorfor de tre patches er nok. Den teori der beskrives indledende, mener jeg ikke er en del af det gennemgåede pensum indtil videre.

Har vedhæftet pdf til at illustrere min beskrivelse i #2

Har vedhæftet fil til at beskrive min argumentation i #2

Jeg fik vrøvlet en smule i #3 en surface patch er givet som selve funktionen σ(u,v), og U_i er de tilhørende maps/coordinate patches